Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
zu 1) Basis für Unterraum \(U_1\)
Damit ein Vektor \(\vec x\in\mathbb R^4\) zu \(U_1\) gehört, muss er die Bedingung$$x_1-x_3=-3x_2-3x_4\quad\text{bzw.}\quad \pink{x_1=x_3-3x_2-3x_4}$$erfüllen. Dadurch können wir von den 4 Komponenten nur noch 3 frei wählen. Die 4-te Komponente ist dann durch die Wahl der 3 anderen Komponenten festgelegt. Die Dimension von \(U_1\) ist daher gleich \(3\). Eine passende Basis finden wir, indem wir einfach alle Vektoren von \(U_1\) aufschreiben:$$\vec x=\begin{pmatrix}\pink{x_1}\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\pink{x_3-3x_2-3x_4}\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}-3\\1\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}-3\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$Die 3 Richtungsvektoren bilden eine Basis des \(U_1\).
zu 2) Basis für Unterraum \(U_2\)
Damit ein Vektor \(\vec x\in\mathbb R^4\) zu \(U_2\) gehört, muss er die Bedingung$$x_1-x_4=x_2+x_3\quad\text{bzw.}\quad \pink{x_1=x_2+x_3+x_4}$$erfüllen. Eine mögleiche Basis erhalten wir wie oben:$$\vec x=\begin{pmatrix}\pink{x_1}\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\pink{x_2+x_3+x_4}\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$Die 3 Richtungsvektoren bilden eine Basis von \(U_2\).
zu 3) Basis von Unterraum \((U_1\cap U_2)\)
Damit ein Vektor \(\vec x\in\mathbb R^4\) zu \((U_1\cap U_2)\) gehört, muss er beide Bedingungen erfüllen:$$\pink{x_1=x_3-3x_2-3x_4}\quad\text{und}\quad\pink{x_1=x_2+x_3+x_4}$$Wir setzen die beiden rechten Seiten gleich:$$x_3-3x_2-3x_4=x_2+x_3+x_4\stackrel{-x_3}{\implies} -3x_2-3x_4=x_2+x_4\implies$$$$-3(x_2+x_4)=(x_2+x_4)\implies x_2+x_4=0\implies \green{x_4=-x_2}$$Diese grüne Ergebnis setzen wir in die zweite pinke Formel ein:$$\pink{x_1=x_2+x_3+\green{x_4}}=\pink{x_2+x_3+(}\green{-x_2}\pink{)}=\pink{x_3}\implies\green{x_3=x_1}$$Wir können also nur noch 2 Koordinaten frei wählen, die beiden anderen sind dann fest vorgegeben. Daher hat der Unterraum \((U_1\cap U_2)\) die Dimension \(2\) und eine mögliche Basis finden wir wie üblich:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\green{x_3}\\\green{x_4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\green{x_1}\\\green{-x_2}\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-1\end{pmatrix}$$Die beiden Richtungsvektoren bilden eine mögliche Basis von \((U_1\cap U_2)\).
zu 4) Basis von Unterraum \((U_1+U_2)\)
Nun suchen wir eine Basis für den Unterraum \((U_1+U_2)\) in dem die beiden Unterräume \(U_1\) und \(U_2\) vollständig enthalten sind. Dieser Raum wird von 6 Vektoren, 3 Basivektoren von \(U_1\) und 3 Basisvektoren von \(U_2\), aufgespannt. Um aus diesen 6 Vektoren eine gemeinsame Basis zu bestimmen, rechnen wir die linearen Abhängigkeiten unter ihnen mittels elementarer Spalten-Operationen heraus, Unser Ziel es es, so viele Zeilen wie möglich zu erhalten, die aus lauter Nullen und genau einem Eintrag ungleich Null bestehen:$$\begin{array}{rrrrrr}+3S_2 & & +3S_2 & -S_2 & -S_2 & -S_2\\\hline-3 & 1 & -3 & 1 & 1 & 1\\1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\to\begin{array}{rrrrrr} & & & -S_1 & & \\\hline0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\3 & 1 & 3 & -1 & 0 & -1\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\to$$$$\begin{array}{rrrrrr}+3S_6 & +S_6 & +3S_6& -4S_6 & &\cdot(-1) \\\hline0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\3 & 1 & 3 & -4 & 0 & -1\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\to\begin{array}{rrrrrr} & &\div4 &+S_3 &\\\hline0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\3 & 1 & 4 & -4 & 0 & -1\end{array}\to$$$$\begin{array}{rrrrrr} -3S_3 & -S_3 & & & &+S_3\\\hline0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\3 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1\end{array}\to\begin{array}{rrrrrr} \vec e_2 & \vec e_1 & \vec e_4 & & &\vec e_3\\\hline0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{array}$$Wir erhalten als eine Basis für \((U_1+U_2)\) die kanonische Standardbasis des \(\mathbb R^4\). Daher ist \(\mathbb R^4\) der Raum mit der kleinsten Dimension, der die Unterräume \(U_1\) und \(U_2\) vollständig enthält.
