Was bedeutet die Schnittmenge zweier Unterräume aus Matrizen?

Question

Aufgabe:

Es sind zwei Unterräume des ℝ^2x2 aus Matrizen erzeugt gegeben. Für U gilt

A₁=\( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \)  A2=\( \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) A3=\( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} \)

Für W gilt

B1=\( \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \) B2=\( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \)

a) Bestimme C∈ℝ^2x2 mit U∩W =ℝC

b) Bestimme die Dimension von U+W

c) Ergänze C aus (b) zu einer Basis von U+W

Problem/Ansatz:

a) Zunächst habe ich versucht, den Schnitt von U, W zu berechnen, indem ich aA₁ +bA₂ +cA₃ =dB₁ +eB₂ bestimmt habe. Dabei kam ein Ergebnis raus, mit dem ich konzeptionell nichts anfangen kann. Die Lösungsmenge ist für c=x ₃ und e=x₅ {x₃\( \begin{pmatrix} 3\\-1\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \) +x₅ \( \begin{pmatrix} -2\\1\\0\\-1\\1 \end{pmatrix} \) } . Das habe ich einfach mal in dB1 +eB2 eingesetzt und habe x5*\( \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \) rausbekommen. Ist das mit  "ℝC" gemeint? Ich kenne diese Schreibweise nicht, vermute aber einfach mal, dass es eine Matrix multipliziet mit einem beliebigen, reellen Faktor sein soll. Hat der Schnitt nun die Dimension 1? Wenn ich die Lösungsmenge in U einsetze, kommt dasselbe raus, da sich die Matrizen von x3 zur Nullmatrix addieren.

b) Hier nutze ich die Dimensionsformel dim(U+W)= dim U + dim W - dim (U∩W) = 2+2-1 =3

c) Wenn das bis jetzt stimmen würde, müsste ich für die c) noch zwei Matrizen erstellen, sodass die Dimension erfüllt ist. Wenn ich mir die Basis von U+W konstruiere, kommt fast dasselbe raus wie beim Schnitt:

Die Lösungsmenge ist für c=x 3 und e=x5 {x3\( \begin{pmatrix} 3\\-1\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \) +x5 \( \begin{pmatrix} -2\\-1\\0\\-1\\1 \end{pmatrix} \) } . Das würde aber bedeuten, dass die Summe U+W nur eindimensional ist. HIlfe :(

Comments

Hat sich erledigt .

Answer 1

. Ist das mit  "ℝC" gemeint?    Ja !

 Ich kenne diese Schreibweise nicht, vermute aber einfach mal, dass es eine

Matrix multipliziert mit einem beliebigen, reellen Faktor sein soll.  So ist es !

Hat der Schnitt nun die Dimension 1?   Ja , und das C bildet eine Basis.

Wenn das bis jetzt stimmen würde,    ( Tut es  fast ! )

Das C hat unten rechts eine 6 statt der 2. !

Es ist C= -B1+B2 und C= A1 + A3

müsste ich für die c) noch zwei Matrizen erstellen, sodass die Dimension erfüllt ist.   Richtig !

 Wenn ich mir die  ( besser eine !!!)  Basis von U+W konstruiere, kommt fast dasselbe raus wie beim Schnitt

Das kann nicht stimmen !

U+W wird erzeugt durch die anfänglich gegebenen 5 Matrizen.

Eine Basis besteht aus genau dreien, und wenn du mit C beginnen sollst, dann

musst du nur schauen, wie du das durch welche von den 5en ergänzt, dass es

linear unabhängig bleibt.

Also C und A1 sind jedenfalls lin. unabh.

zu den beiden kann man A2 oder A3 nicht

hinzunehmen, denn dann werden sie lin. abh.

Mit B1 geht es !

Damit wäre C , A1, B1 eine Basis.

Zur Kontrolle kannst du schauen, ob A2, A3, B2 alle dadurch

darstellbar sind.

Comments

Stimmt, da muss eine 6 statt der 2 hin. Vielen Dank für die Rückmeldung <3