Unterräume und Basen, Mengen

Question

a) Sind die folgenden Mengen Unterräume des \( \mathbb{R}^{3} ? \)

(i) \( U=\left\{(x, y, z)^{T} | 2 x-3 y+1=0\right\} \)

(ii) \( V=\left\{\left(\begin{array}{c}{\cos \alpha} \\ {\sin \alpha} \\ {0}\end{array}\right) | \alpha \in \mathbb{R}\right\} \)

(iii) \( W=\left\{\left(\begin{array}{c}{\lambda+2 \mu} \\ {3 \mu-\lambda} \\ {\lambda}\end{array}\right) | \lambda, \mu \in \mathbb{R}\right\} \)

b) Sei \( \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \) eine Basis eines \( \mathbb{R} \) -Vektorraums \( V \). Sind dann (i) \( \left\{2 \vec{v}_{1}+\vec{v}_{3}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \) bzw. (ii) \( \left\{\vec{v}_{1}+\vec{v}_{3}, \vec{v}_{2}+\vec{v}_{3}, \vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}\right\} \) eine Basis von \( V ? \)

Begründen Sie Ihre Behauptungen.

Es gibt vielleicht verschiedene Herangehensweisen. Bei (ii) kann man versuchen, ob man eine nichttriviale Linearkombination der drei Vektoren findet, die 0 ergibt.

Comments

Reicht das als Erklärung?

Answer 1

zu a): Weise die 3 Eigenschaften nach: U≠{ }, a+b ∈ U, α*a ∈ U, α ist eine beliebige Zahl ℝ.

Bsp: Gilt a+b ∈ U im 1. Beispiel?

Wenn man 2 Vektoren addiert, muss gelten: 2x-3y+1=0  für den 1. Vektor

                                                                      2a-3b+1=0 für den 2. Vektor

und                                                                2(x+a)-3(y+b) +1=0 für die Summe

d.h. 2x-3y+1+2a-3b=0

⇔    2x-3y+1+2a-3b+1=1

⇔    0           +0           =1  Dies ist ein Widerspruch, also ist U kein Unterraum

zu b) (i) Ja: v1 wurde durch eine Linearkomb. von v1 und v3 ersetzt, damit bleiben die 3 Vektoren nach dem Austauschsatz von Steinitz l.u.

(ii): Nein: Die Summe des 2. und 3. Vektors ist der 1.