Linerare Unabhängigkeit, Dimension, Unterräume

Question

Sei\[\vec{u}_{1}=\left(\begin{array}{l}{1} \\{0} \\{0}\end{array}\right), \quad \vec{u}_{2}=\left(\begin{array}{c}{1} \\{1} \\{-1}\end{array}\right), \quad \vec{u}_{3}=\left(\begin{array}{c}{-1} \\{1} \\{-1}\end{array}\right), \quad \vec{u}_{4}=\left(\begin{array}{l}{0} \\{0} \\{1}\end{array}\right)\]und \( U_{1}=\operatorname{span}\left\{\vec{u}_{1}\right\}, U_{2}=\operatorname{span}\left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}\right\}, U_{3}=\operatorname{span}\left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3}\right\}, U_{4}=\operatorname{span}\left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3}, \vec{u}_{4}\right\} \) und\( V=\operatorname{span}\left\{\vec{u}_{3}, \vec{u}_{4}\right\} \)

a) Prüfen Sie (i) \( \left\{\vec{u}_{1}\right\} \) und (ii) \( \left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}\right\} \) und (iii) \( \left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{4}\right\}^{1} \) auf lineare Unabhängigkeit. Hinweis: Ggf. mit (iii) anfangen.

b) Stellen Sie \( \vec{u}_{3} \) als Linearkombination von \( \vec{u}_{1}, \vec{u}_{2} \) dar.

c) Welche Dimension haben also die Vektorräume \( U_{1}, U_{2}, U_{3}, U_{4} ? \) Geben Sie dazu jeweils eine Basis an (inkl. einer möglichst exakten Begründung, dass es sich um eine Basis handelt).

d) Bestimmen Sie eine Basis von \( U_{2} \cap V \)

Answer 1

a) (i)  k*\( \vec{u_{1}} \) =\( \vec{0} \)  ⇒ k=0, also l.u.

(ii) Wenn u1,u2 l.u, dann auch u1,u2-u1=\( \begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix} \) = w2

Man sieht sofort: x*\( \vec{u_{1}} \) + y*\( \vec{w_{2}} \) = \( \vec{0} \) ⇒ x=y=0, also l.u.

(iii) Wenn u1,u2,u4 l.u, dann auch u1,u2-u1-u4=\( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) = w3,u4.

Man sieht sofort: x*\( \vec{u_{1}} \) + y*\( \vec{w_{3}} \)+ z*\( \vec{u_{4}} \) = \( \vec{0} \) ⇒ x=y=z=0, (die kanonische Basis), also l.u.)

b) u3=u2-2u1

c) U4=span{u⃗1,u⃗2,u⃗3,u⃗4} =span{u⃗1,u⃗2,u⃗4} wegen b). Wegen a) dim U4=dim U3=3, dim U2=2, dim U1=1. Die Basen und die Beweise findet man in a)

d) U2∩V = span{u⃗1,u⃗2} ∩ span{u⃗3,u⃗4}

Wegen b) liegt u3 in span{u⃗1,u⃗2} , wegen a)(iii) liegt u4 nicht in span{u⃗1,u⃗2} , also ist der eindimensionale U2∩V = span{u⃗3}