Gleichungen höheren Grades

Question

Aufgabe:

1. (x-3)*(x+5 )-2x-1=3-2x-4

2. x^3+3x^2-13x-15=0

3. x^3+x^2-14x-24=0

4. x^3-4x^2+x+6=0

5. x^4-13x^2+36=0

6. x^4-17x^2+16=0

7. x^4-3x^3=0

8. x^4-x=0

Bitte um Hilfe tur mir schwer ab dem Grad 3 und 4

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Satz vom Nullprodukt, Substitution bei biquadratischen Gleichungen....

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Zu 2.

Probiere x=-1 aus. Dann Polynomdivision oder Horner-Schema.

Answer 1

2. Errate x=-1, mache Polynomdiv durch (x+1)

3. Errate x=-2, mache Polynomdiv durch (x+1)

4. wie 2.

5. x⁴-13x²+36=(x²-4)(x²-9)= jetzt 3. binomische Formel

6. x⁴-17x²+16=0 wie 5. mit 1 und 16, statt 4 und 9

7. x³ ausklammern!

8. x⁴-x=x(x³-1) ⇒ x=0 oder x=1

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Bitte langsam ich weiß gar nicht wie ich anfangen sollte

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zu 2: Setze mal -1 ein, was kommt raus?

zu 4:    ""    ""

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Wie -1 einsetzen?

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x³+3x²-13x-15=0      hier -1 für x

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Und woher weiß ich das, dass ich -1 einsetzen sollte

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Und woher weiß ich das, dass ich -1 einsetzen sollte

Es kommen nur ganzzahlige Fraktoren von 15 für eine händisch einfache Antwort in Frage. Also ±1, ±3,±5 und ±15.

x^{3}+3x^{2}-13x-15=0   

Vorhandene Zahlen lange genug anschauen.

1 , 3 ,13, 15 irgendwie zu 0 kombinieren für die Kandidaten ±1. Bsp. 1 + 15 = 16 und 3 + 13 = 16. Somit passt dann vielleicht x = -1.

(-1)^{3}+3(-1)^{2}-13(-1)-15=0 

-1 + 3 + 13 - 15 = 0 stimmt.

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Umd wie funktioniert das mit der polynomdivision?

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Das ist ein eigenes  Thema, auf das man ein paar Stunden verwenden sollte.

Alternativ so:

x³+3x²-13x-15=0      hier -1 für x

-1+3   +13 -15=0 stimmt

Die -1 ist erraten. Das ist keine große Kunst. Bei Gleichungen 3. oder 4. Grades, die von jemand gestellt werden, kannst du annehmen, dass eine von den folgenden Zahlen passt, weil man sie ja erraten muss und nicht ewig Zeit hat:

± 1, ± 2, ± 3, ± 4. Dabei sind nur die vorderen Zahlen wahrscheinlich.

Also errate -1!

D.h. der Faktor (x+1) steckt in x³+3x²-13x-15 wie z.B. 5 in 35 steckt.

also (x+1)*( unbekannt)=x³+3x²-13x-15.

Durch geschicktes Ausklammern kannst du die Polynomdiv umgehen:

x³+3x²-13x-15 = x³+x²+2x²-13x-15 = x²(x+1)+2x²-13x-15

Siehst du, vorne ist jetzt schon die Klammer (x+1) da!

=x²(x+1)+2x²+2x-15x-15 Jezt klammere in der Mitte 2x aus:

x²(x+1)+2x²+2x-15x-15= x²(x+1)+2x(x+1)-15x-15      jetzt am Ende -15

= x²(x+1)+2x(x+1)-15(x+1)    Jetzt ziehe die Klammer nach vorne:

=(x+1)(x²+2x-15)

Jetzt setze auch noch x²+2x-15=0 mit der Mitternachtsformel.

Dann hast du insgesamt 3 Lösungen: -1,3,-5

Answer 2

5. Satz von Viéta: $$ 0 = x^{4}-13x^{2}+36  \\[10pt] \phantom{0} = \left(x^2\right)^2-(4+9) \cdot x^2 + 4 \cdot 9  \\[10pt] \phantom{0} = \left(x^2-4\right)\cdot\left(x^2-9\right)   \\[10pt] \phantom{0} = \dots $$ Jetzt oder nach weiterer Faktorisierung können die Lösungen abgelesen werden. Bei 6. kann man analog vorgehen.

Answer 3

Tipp:

Zeichne die Kurven. Online geht das ganz einfach.

Noch ein Tipp zu 2, 3, 4:

Wenn alle Lösungen ganzzahlig sind, müssen sie Teiler der Zahl ohne x sein.

Bei 2) kommen also die Teiler von 15 in die engere Wahl. Dabei kann das Vorzeichen auch Minus sein.

Answer 4

Hallo,

Aufgabe 8)

x^4 -x=0

x(x^3 -1)=0

Satz vom Nullprodukt:

x=0

--->

x^3= 1

x=1

Aufgabe hat noch 2 komplexe Lösungen, wenn gefragt ?

Aufgabe 7)

analog Aufg 8)

x^3 ausklammern ->Satz vom Nullprodukt

x^4 -3x^3=0

x^3(x-3)=0

x_1,2,3=0

x₄= 3