Nullstellen einer Funktion 3ten und höheren Grades

Question

Hallo Alle zusammen,

Ich komme beim lernen bei ein paar Aufgaben nicht weiter, und brauche Hilfe.

Das erste handelt um Substitution. F(x)=x⁶ + 117x³ + 1000 . Ich habe hierbei versucht die Funktion mit u=x² zu Substituieren, aber leider musste ich feststellen, dass in der abc-Formel unter der Wurzel eine negative Zahl herauskommt und damit nicht lösbar, aber dennoch denke Ich, dass ich einen Fehler gemacht habe.

Als nächstes muss man die Nullstellen einer Funktion nach Methode eigener Wahl ermitteln:

a) f(x) = x³ +  x² - 20x     

Hier habe ich versucht die Nullstellen mittels Ausklammern zu ermitteln und kam dabei auf:

          = (x² +  x - 20)    

und habe mit der abc-Formel x₁=4 und x₂=-5 heraus bekommen. Stimmt das?

b) f(x) = x⁵-13x³+36x          

 Ausklammern und Substituieren kann man hier nicht, denke ich. Einfach nullsetzen kann ich auch nicht, denn x⁵ und x³  werde ich nur schwer los. Also, was mache ich hier?

c) f(x) = 2(x³-3x)(x⁴+1)     

  Für (x⁴+1) gibt es meiner Meinung nach keine Nullstelle, denn man kann keine negative Nullstelle unter der Wurzel haben. Aber was die Nullstelle bei 2(x³-3x) ist, kommt mir gerade nicht in den Sinn. Sicherlich nicht die dritte Wurzel von drei, oder?

Wenn Ihr mir also weiter helfen könntet, wäre Ich zutiefst dankbar. 

Comments

Ich möchte mich bei euch Allen bedanken! Eure Antworten haben mir super weiter geholfen, und nun verstehe ich meine Fehler. Vielen

Answer 1

F(x) = x⁶ + 117x³ + 1000

Substituiere  u = x³  →   F(x) = u² + 117u + 1000 

a)   die Nullstellen sind richtig, aber das ausgeklammerte x ergibt noch x=0

b)   f(x) = x⁵ - 13x³ + 36x  =  x * (x⁴ - 13x² + 36) = x * (u² - 13u + 36)

c)    2·(x³-3x)  =  2· x · (x² - 3)  ⇔  x=0 oder x = ±√3

Gruß Wolfgang          

Comments

Dankeschön! Jetzt wo ich das sehe, habe ich keine Ahnung wie ich auf x² = u kam.. Haha. Danke, ich verstehe es nun.

Answer 2

a) Ja das stimmt. Aber es fehlt noch x_(3)=0

b) hier solltest du erst ein x ausklammern und bekommst so x_(1)=0. Dann kannst du substituieren.

c) (x^4+1) hat keine Nullstelle, richtig!

(x^3-3x) = x*(x^2-3)

Damit ist x_(1)=0

x^2=3

x_(2,3)=±√3

Comments

Die Nullstelle hätte ich nie lösen können, ohne Hilfe. :)

Answer 3

Hi,

das sieht doch teils gar nicht schlecht aus.

Zum ersten:

Subst x^3 = u ist richtig. Probier das nochmals. Ich komme da auf

u_(1,2) = -117/2 ± √(9689)/2

Damit komme ich dann auf zwei reelle Nullstellen

x_(1) ≈ -4,76

x_(2) ≈ -2,10

a) Vergiss x_(3) = 0 nicht ;). Die anderen beiden passen.

b) Auch hier ausklammern...dann kannst Du auch Subst ;).

Zur Kontrolle:

x_(1) = 0

x_(2,3) = ±2

x_(4,5) = ±3

c) Die Begründung zu x^4+1 passt. Dann wieder ausklammern um die anderen Nullstellen zu finden.

x^3-3x = x(x^2-3)

x_(1) = 0

x_(2,3) = ±√3

Alles klar?

Grüße

Comments

Ja, alles nun klar :) Du hast es echt toll und verständlich erklärt. Jetzt verstehe ich, wo ich Falsch lag.

---

Ach, noch eine kleine Frage hätte ich. Bei x_2,3 = ±2 und x_4,5 = ±3 kommt ein +/- Ergebnis raus, weil wir die Wurzel, daraus ziehen, oder weil es mehrfache Nullstellen sind? Und woher weiß man, welche Nullstelle zu welchem Exponent gehört? .

---

Ach, entschuldige mich. Streiche bitte die letzte Frage. Ich habe etwas verwechselt.

---

Alles klar geworden? ;)

---

Ja! Außer eine Sache. Leider finde ich dazu keine Antwort im Netz. Nachdem man die abc-Formel anwendet, bekommt man x-Werte. Zum Beispiel x_{1...2...3...4}  etc. So wie ich es verstanden habe, haben die tiefgestellten Zahlen keine Verbindung zu den Exponenten der Nullstellen, oder? Die tiefgestellten Zahlen beschreiben einfach eine beliebige Reihenfolge der berechneten Nullstellen (nehme ich an), und ist diese Reihenfolge der tiefgestellten Zahlen egal solange die Ergebnisse stimmen? Hoffentlich habe ich mich verständlich ausgedrückt. Bsp: f(x)=x⁶ + 117x³ + 1000 , bei x⁶ ; x₁ = 0 . Könnte aber auch x₃ =0 sein, wenn x₁ und x₂  bereits andere Nullstellen benennen, oder?

---

So ist es. Das hilft nur bei der Verständigung. Wenn ich sage wir haben 2 Nullstellen x_(1) = 2 und x_(2) = 3 und nun von x_(1) spreche, weißt Du sofort, dass x_(1) = 2 gilt. Spreche ich nur von x, weißt Du nicht, ob ich x = 2 oder x = 3 meine ;).

Man spricht bei den "tiefer gestellten Zahlen" von Indizes (Singular: Index). Das sind "Bezeichner".

Ok? ;)

---

Super, alles verstanden. Vielen Dank :). Du bist ein Lebensretter.

Answer 4

  Am Meisten intressiert mich deine c)  Wenn du also nach dem " Satz vom Nullprodukt "  , wie ihr das nennt, gehst, spaltest du erst mal ab x5 = 0  . Was dir bleibt, ist eine biquadratische Gleichung ( BQG )   Wie eine gewöhnliche QG wird sie in Normalform notiert

         x  ^  4  -  p  x  ²  +  q  =  0       (  1a  )

        p  =  13  ;  q  =  36     (  1b  )

       Ihr führt doch jetzt immer diese Substitution ein

       z  :=  x  ²       (  2a  )

      

       Mit ( 2a )  wird ( 1a ) eine gewöhnliche  QG

       z  ²  -  p  z  +  q  =  0     (  2b  )

      Wenn du jetzt wie üblich über die Mitternachtsformel ( MF ) gehst, bekommst du doch so unhandliche Mitternachtswurzeln wie  ( 13/2 ) ²  -  36  , die deinen Kenntnissen in Bruchrechnung das Äußerste abverlangen. Dabei wollen wir ja gar nicht quasrieren, sondern sogar einmal öfter die Wurzel ziehen als üblich.

     Mein Verfahren leistet genau das Verlangte; ich habe es " Wurzelwurzeln "  ( W W )  getauft, weil ich quasi aus der Wurzel nochmal die Wurzel ziehe.  Und zwar verknüpft es Vieta das geschmähte Stiefkind mit der normalen  MF .

    Beginnen wir mit Vieta p ( 1b;2b )

      p  =  z1  +  z2  =  13      (  3a  )

     p  =  x1  ²  +  x2  ²  =  13         (  3b  )

    wie du siehst, habe ich in ( 3b )  die Substitution  ( 2a ) ganz listig wieder zurück genommen; dieses z dient mir nur als Vorwand, um die Vieta Gleichungen anzuschreiben . Direkt rechnen mit z so wie ihr tu ich gar nicht. Jetzt Vieta q

     u  ²  :=  q  =  z1  z2  =  36      (  4a  )

    u  =  x1  x2  =  6      (  4b  )

        Indem wir diese Hilfsgröße u definiert haben, habe ich in ( 4a ) ZUM ERSTEN MAL die wurzel gezogen - und nicht quadriert.

    Merkst du, dass ( 4b ) rein zufällig die quadratische Ergänzung von ( 3b ) ist? Das sieht jetzt so aus:

         (  x2  +  x1  )  ²  =  p  +  2  u  =  13  +  2  *  6  =  25       (  5a  )

       Es springt förmlich ins Auge, dass die Zahlen viel kleiner und handlicher sind als nach dem traditionellen Verfahren.  Und jetzt ziehen wir zum zweiten Mal die Wurzel

          x2  +  x1  =  5        (  5b  )

     Mit der 2. binomischen wirst  du in  ( 3b;4b ) analog  geführt auf

          (  x2  -  x1  )  ²  =  p  -  2  u  =  1      (  6a  )

         x2  -  x1  =  1      (  6b  )

       Zu lösen ist das LGS  ( 5b;6b ) die Lösung ist immer die selbe:

      x2  =  aritm.  Mittelw.  (  1  ;  5  )  =  3       (  7a  )

      x1  =  halbe Differenz  (  5  ;  1  )  =  2      (  7b  )

     Ich gebe zu; hier wo alles  schön ganzzahlig glatt aufgeht,  wird der Vorteil meines Ansatzes noch gar nicht so richtig deutlich. Du kannst dich ja nochmal melden.