Annäherung durch Polynome höheren Grades:

Question

Folgende Funktionen sollen durch Polynome 4. Grades mit jeweiliger entwicklungstelle angenähert werden:


(1)  $$f(x)={ x }^{ 5 }-2{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+1$$ für die Entwicklungsstelle $${ x }_{ 0 }=1\quad bzw.\quad { x }_{ 0 }=2$$



(2)  $$f(x)=\frac { 3 }{ 1-x } $$  für die EWS $${ x }_{ 0 }=0\quad bzw.\quad { x }_{ 0 }=2$$




(3)  $$f(x)={ e }^{ 2x-1 }$$  für die EWS $${ x }_{ 0 }=0\quad bzw.\quad { x }_{ 0 }=\frac{1}{2}$$

Answer 1

1)

T1(x) = f(1) + f'(1)/1!·(x - 1)^1 + f''(1)/2!·(x - 1)^2 + f'''(1)/3!·(x - 1)^3 + f''''(1)/4!·(x - 1)^4

T2(x) = f(2) + f'(2)/1!·(x - 2)^1 + f''(2)/2!·(x - 2)^2 + f'''(2)/3!·(x - 2)^3 + f''''(2)/4!·(x - 2)^4

Schaffst du es selber zu vereinfachen?

Comments

1)    $$f\left( x \right) =\quad { x }^{ 5 }-{ 2x }^{ 3 }-x^{ 2 }+1\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad f\left( 1 \right) =-1\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad f(2)=13\quad \\ f^{ I }\left( x \right) =\quad { 5x }^{ 4 }-{ 6x }^{ 2 }-2x\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad f^{ I }(1)=-3\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad { f }^{ I }(2)=13\\ f^{ II }\left( x \right) =\quad 20{ x }^{ 3 }-12x-2\quad \quad \quad \quad \quad \quad { f }^{ II }(1)=6\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad { f }^{ II }(2)=134\\ f^{ III }\left( x \right) =\quad 60{ x }^{ 2 }-12\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad { f }^{ III }(1)=48\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad { f }^{ III }(2)=228\\ f^{ IV }\left( x \right) =120x\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad { f }^{ IV }(1)=120\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad { f }^{ IV }(2)=240\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad ({ x }_{ 0 }=1)\quad \uparrow \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad ({ x }_{ 0 }=2)\quad \uparrow \\ \\ \\ \\ f\left( x \right) =\quad { x }^{ 5 }-{ 2x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+1\approx \sum _{ k=0 }^{ 4 }{ \frac { { f }^{ (k) }\quad \cdot \quad (1\quad bzw.\quad 2)\quad  }{ k! }  } \cdot { \quad x }^{ k }\\ \\ { x }_{ 0 }=1;\quad \quad 0+\left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right) x+{ 3x }^{ 2 }+{ 8x }^{ 3 }+{ 5x }^{ 4 }\quad =\quad { 5x }^{ 4 }+{ 8x }^{ 3 }+{ 3x }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 } x+0\quad =\quad { T }_{ 4 }(x);\quad mit\quad x_{ 0 }=1$$

einmal nachsehen :)