U1 und U2 sind Unterräume von ℝ7 mit dim U1 = 4 und dim U2 = 5. Welche Dimension kann U1 ∩ U2 haben?

Question

Aufgabe:

Seien U₁ und U₂ zwei Unterräume von ℝ⁷ von Dimensionen dim U₁ = 4 und dim U₂ = 5.
Welche Dimension kann U₁ ∩ U₂ haben?

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre die Dimensionsformel dim(U₁+U₂) = dim U₁ + dim U₂ - dim(U₁∩U₂) zu benutzen
Setzt man die Werte ein kommt man auf

5 = 4 + 5 - dim(U₁∩U₂) ⇔ dim(U₁∩U₂) = 4

Ist der Ansatz richtig? Ich wüsste sonst nicht wie man U₁ ∩ U₂ bestimmen sollte.

Answer 1

Der Ansatz ist korrekt, bei der Rechnung ist aber zu beachten:

dim(U₁ ∪ U₂) kann maximal 7 (da dim(ℝ⁷) = 7) und minimal 4 sein (wenn U₁ ⊂ U₂). Damit ergibt sich

2 ≤ dim(U₁ ∩ U₂) ≤ 4