Wie bestimme ich eine Basis und die Dimension von einem Untervektorraum?

Question

ich weiß leider nicht wirklich, wie man die Basis oder die Dimension eines Untervektorraumes bestimmt.

Die dazugehörige Aufgabe lautet:

Gegeben seien die folgenden vier Untervektorräume des ℝ³:

V₁ = ( { ( x₁, x₂, x₃ ) ∈ ℝ³ | x₁ = x₂ }, +, • )

V₂ = ( { ( x₁, x₂, x₃ ) ∈ ℝ³ | x₁ + x₂ + x₃ = 0 }, +, • )

V₃ = V₁ ∩ V₂

V₄ = V₁ + V₂

Geben Sie jeweils eine Basis für V₁, V₂, V₃ und V₄ an (mit Beweis) und bestimmen Sie die Dimensionen der vier Untervektorräume.

Ich wäre für Lösungen / Lösungsansätze sehr dankbar!

MfG

Answer 1

Bei V1 sind alles nur Vektoren enthalten, die für irgendwelche a,b aus R so aussehen:

a
a
b

Das sind alle Linearkombinationen  von u=

1
1
0

und v=

0
0
1

Und u und v sind linear unabhängig, bilden also eine Basis von V1 und

damit ist die Dimension = 2.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort, also sind u und v die Basis von V1 und da es zwei sind, ist die Dimension 2?

Und wie genau würde das dann für V2 aussehen?

Das müsste dann doch irgendwie so aussehen:

a

b

-(a + b)

und die Linearkombinationen wären dann u =

1

0

-1

und v =

0

1

-1

also auch wieder Dimension 2.

Habe ich das so richtig verstanden?

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Bei V2 würde ich sagen das X1 = -X2-X3

so ist die Menge V2 = { -X2-X3,X2,X3) ∈ R^3}

= x2*\( \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix} \)+x3*\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}  |X2,X3 ∈ R }

so ist \( \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix} \) eine möglice basis und so dim =1.

Ich bin mir aber nicht ganz sicher ob das so ganz richtig ist

Answer 2

Nabend ;-)

na, die Aufgabe kommt mir doch von einer gewissen Uni sehr bekannt vor ;-)

Bist du inzwischen weiter gekommen?

Insbesondere interessiert mich V4.

Grüße