Wie bestimme ich den Basis und Dimension hier

Question

Sei U ein Untervektorraum definiert als:

U = { x ∈ ℝ | x_1 + 2x_2 - x_3 + 5x_4 = 0}

sollte ich nun den Basis und den Dimension davon finden.

Ich bin mir bisher nur sicher dass der Nullvektor da auf jeden Fall drin liegt, aber nicht darüber, ob es noch mehr gibt, damit ich daraus später den Basis ausrechnen kann.

Answer 1

falls du zeigen musst, das U ein VR ist:

da in der Teilmenge des ℝ⁴ trivialerweise alle Gleichungen gelten, die in der Obermenge ℝ⁴ gelten,

muss man für den Nachweis des Untervektorraums nur zeigen, dass das Neutrale und die Inversen in U liegen und U gegenüber der Vektoraddition und der Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl abgeschlossen ist.

Das Neutrale hast du schon.

Die Inversen [ - x₁ , - x₂ , - x₃ , - x₄ ]  liegen auch in U:

Koordinaten in die Definitionsgleichung x1 + 2x2 - x3 + 5x4 = 0  (DG) einsetzen und mit  -1 multiplizieren, dann hast du die DG für

[  x₁ ,  x₂ ,  x₃ , x₄ ]  und der liegt ja in U.

Wenn du [  αx₁ ,  αx₂ ,  αx₃ , αx₄ ]  in DG einsetzt, kannst du α ausklammern und die Klammer ist Null für [  x₁ ,  x₂ ,  x₃ , x₄ ] ∈ U.

Setzt du für einen Summenvektor die Koordinaten ein, kannst du ausmultiplizieren, die Summanden nach den Einzelvektoren umsortieren und du hast zwei Teilsummen, die beide Null sind, weil die Einzelvektoren aus U sind.

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Bestimmung von Dimension und Basis:

Die DG beschreibt im ℝ⁴ (wie jede lineare Gleichung mit 4 Unbekannten) eine Hyperebene .

 Da sie den Nullvektor enthält, ist sie eine Unterraum der Dimension 3.

Für eine Basis kannst du also drei beliebige linear unabhängige Vektoren nehmen, die in U liegen:

B = { [0,0,5,1],[0,5,0,-2], [5,0,0,-1] }   [ Offensichtlich lässt sich keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen → linear unabhängig]

Du findest die Basisvektoren, indem du unter den Normalenvektor (Koeffinzienten von DG) drei Vektoren so hinschreibst, dass in jeder Spalte und jeder Zeile zwei Nullen stehen.  Für die freien Koordinaten vertauschst du die entsprechenden Koordinaten des Normalenvektors  und änderst bei einer das Vorzeichen:

1     2    -1      5

0     0     5      1   

0     5     0     -2   

5     0     0     -1

Infos über den Begriff der Hyperebene findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperebene

Gruß Wolfgang

Comments

also gibt es nur den Nullvektor als Basis und der Dimension von U ist 1

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Nein, habe die Basis ergänzt. (Dein Anfang mit dem Nullvektor hat bei mir den Eindruck erweckt, dass du die Unterraumeigenschaft nachweisen sollst.)