Bestimmen Sie zu U_{1}, U_{2}, U_{1} \cap U_{2}, U_{1}+U_{2} je eine Basis und die Dimension.

Question

Seien \( U_{1}, U_{2} \) Untervektorräume des \( \mathbb{R}^{4} \) definiert als

\( U_{1}:=\left[\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 2 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)\right], \quad U_{2}:=\left[\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 4 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 2 \\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)\right] \)

Bestimmen Sie zu \( U_{1}, U_{2}, U_{1} \cap U_{2}, U_{1}+U_{2} \) je eine Basis und die Dimension. Bestimmen Sie außerdem einen Untervektorraum \( W \) des \( \mathbb{R}^{4} \), sodass \( U_{1} \oplus W=\mathbb{R}^{4} \).

Answer 1

Hallo

Stelle fest wieviele der 3 Vektoren linear unabhängig sind, das ist die dimension, so viele nimm dann als Basis,  für den Schnitt die Vektoren die  in beiden Hüllen liegen  , entsprechend die Summe. immer wieviel linear unabhängige prüfen.

Gruß lul