Aufgabe zu Basis/Dimension eines Unterraums

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine Menge von Vektoren {v1,v2,v3}, die eine Basis eine 3-dimensionalen Vektorraumes (reell) bilden.
Bestimmen Sie für alle a aus den reellen Zahlen die Dimension und eine Basis des Untervektorraums span({w1,w2,w3}) von V, wobei w1 = v1+v2+av3, w2=v1+av2+v3 und w3 = av1+v2+v3.

Problem/Ansatz:

Da v1,v2,v3 eine Basis bilden sind sie linear unabhängig, d.h es existieren c1,c2,c3, sodass aus c1*v1+c2*v2+c3*v3=(0,0,0) folgt: c1=c2=c3=0

Die Menge {w1,w2,w3} ist ein Erzeugendensystem dieses UVR. D.h nun man muss nun prüfen, für welches a alle drei Vektoren lin. Unabhängig sind, für welches a zwei und für welches a einer.

Wenn man z.B nur w1 und w2 aus dem EZS nimmt

Seien c1,c2 ∈ ℝ:

c1*(v1+v2+av3)+c2*(v1+av2+v3) = (0,0,0)

c1v1+c1av2+c2v3+c2av1+c2v2+c2v3 = (0,0,0)

v1 (c1+ac2) + v2 (ac1+c2) + v3 (c1+c2) = (0,0,0)

 Wir wissen, dass v1,v2,v3 n.V lin. Unabhängig sind, d.h es ergibt sich:

c1+ac2 = 0 -> c1 = -ac2

ac1+c2 = 0 -> c2 = -ac1

c1+c2 = 0 -> c1=-c2

Wenn a=0, dann ist c2=c1=0, d.h für a=0 ist die Menge {w1,w2} eine Basis von span({w1,w2,w3})

Jetzt muss man ja jetzt noch theoretisch die a Werte entsprechend für {w1,w2,w3} {w2,w3} {w1,w3} analog zu oben finden?

Ist das korrekt?

Answer 1

es existieren c1,c2,c3, sodass aus c1*v1+c2*v2+c3*v3=(0,0,0) folgt: c1=c2=c3=0

Solche c1, c2, c3 existieren auch dann, wenn {v1, v2, v3} linear abhängig ist. Nämlich c1=c2=c3=0.

Beispiel. v1 = v2 = v3 = (1, 0, 0). Mit c1 = c2 = c3 = 0 ist dann c1*v1+c2*v2+c3*v3=(0,0,0).

Für lineare Unabhängigkeit wir benötigt, dass "für alle c1,c2,c3 gilt:

(1)    aus c1*v1+c2*v2+c3*v3=(0,0,0) folgt c1=c2=c3=0".

Auch hierzu ein

Beispiel. v1 = v2 = v3 = (1, 0, 0) wie oben. Wegen 1*v1 + 1*v2 + (-2)*v3 = (0,0,0) gilt Aussage (1) nicht für alle nicht für alle c1, c2, c3. Zum Beispiel gilt Aussage (1) für c1 = c2 = 1, c3 = -2 nicht.

Wenn a=0, dann ist c2=c1=0, d.h für a=0 ist die Menge {w1,w2} eine Basis von span({w1,w2,w3})

Nein. Das heißt nur, dass {w1, w2} linear unabhängig ist.

c1*(v1+v2+av3)+c2*(v1+av2+v3) = (0,0,0)

Verwende stattdessen

        c1*(v1+v2+av3)+c2*(v1+av2+v3)+c3*(av1+v2+v3) = (0,0,0).

Dann bekommst du

    c1 + c2 + ac3 = 0
    c1 + ac2 + c3 = 0
    ac1 + c2 + c3 = 0.

Untersuche die Lösungen dieses Gleichungssystems.

Comments

Hab das jetzt mal durchgerechnet und komme darauf, dass die Dimension des UVR 3 ist, wenn a ungleich 1 und ungleich -2 ist.

Stimmt das?

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Und falls a=1 oder a=-2 ist die Dimension 1 und die Basis besteht nur aus einem der drei Vektoren