Basis und Dimension des Unterraums

Question

Ich muss die Basis eines Unterraumes finden:

\( \left.U:=\left\{\bar{x}:\left\{\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right\} \in R^{3}: 2 x_{3}-x_{1}=0 \right. \right\} \)

Ansatz/Problem:

Ich habe die Matrix aufgestellt und finde zum Schluss dass meine Basis : ((2,0,0),(2,0,0) T) und finde das Resultat einfach komisch.

Answer 1

Alle Vektoren in \(U\) haben die Form \( \begin{pmatrix} 2t \\ s \\ t \end{pmatrix} \) \( t,s \in \mathbb{R} \)

Somit bilden die Vektoren: \(\begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\) die Basis von \(U\).

Das kann man direkt aus der beschreibenden Gleichung rauslesen. Zur Verdeutlichung:

$$ -x_1 + 0x_2 + 2x_3 = 0$$

1 Gleichung 3 Unbekannte -> Setze für 2 der Unbekannten Parameter (zum Beispiel \(s\) und \(t\)) ein und berechne die dritte Unbekannte in Abhängigkeit. Stelle deine Lösungsmenge als Vektor dar.

Gruß