Beweisen Sie folgende Aussagen, zu Untervektorräumen

Question

Beweisen Sie:

i) Für \( A, B \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \) ist

\(U:=\left\{X \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \mid A X=X B\right\}\)

ein Untervektorraum von \( \mathbb{R}^{2 \times 2} \).

ii)Sind speziell

\(A=\left(\begin{array}{cc}a_{1} & 0 \\a_{3} & a_{4}\end{array}\right) \text { und } B=\left(\begin{array}{cc}b_{1} & b_{2} \\0 & b_{4}\end{array}\right)\)

so gilt für den Untervektorraum \( U \) aus Teil i)
\(U=\{0\} \Longleftrightarrow\left\{a_{1}, a_{4}\right\} \cap\left\{b_{1}, b_{4}\right\}=\varnothing\)

Answer 1

Seien A, B wie gewünscht.

U ist ein Unterraum, weil für die 0-Matrix 0 gilt A*0=0=0*B.

Sind X,Y aus U dann gilt A*X=X*B und A*Y=y*B

==>  A*X+A*Y = X*B+Y*B

==>  A*(X+Y) = (X+Y)*B also A+B aus U.

Ist X ∈ U und k ∈ℝ dann gilt A*X=X*B

==>  k*(A*X) = k*(X*B)

==> A*(k*X) = (k*X)*B also k*X ∈ U

Also ist U ein Unterruam.