Äquivalenz zweier Aussagen zeigen. Es gibt aufsteigende Kette {0}=U0⊊U1⊊U2⊊··⊊Un=V von Untervektorräumen vonV , so dass

Question

ich brauche etwas hilfe.

Gegeben ist ein Körper K, ein endlich-dimensionalen K-Vektorraum V und eine lineare Abbildung Φ: V → V.

1. Aussage: Es gibt eine aufsteigende Kette

{0} = U₀ ⊊ U₁ ⊊ U₂ ⊊ ... ⊊ U_n = V

von Untervektorräumen von V, so dass

dimU_i = 1 + dimU_i-1 und Φ(U_i) ⊆ U_i

für alle i ∈ {1, ..., n}

2. Aussage: Es gibt eine Basis B = {b₁, ..., b_n} von V, so dass die Darstellungsmatrix

D_BB(Φ) = (d_{i, j})_{1 ≤ i, j ≤ n}

von Φ bezüglich B eine obere Dreiecksmatrix ist, das heißt

d_{i, j} = 0 für i > j.

Ich muss nun zeigen, dass diese beiden Aussagen äquivalent sind. Wie gehe ich hier am besten vor? Ich bedanke mich schonmal im Voraus.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Äquivalenz von Aussagen zeigen. Es gibt aufsteigende Kette {0}=U0⊊U1⊊U2⊊··⊊Un=V von Untervektorräumen vonV , so dass

Stichworte: aufsteigende,kette,uvr,lineare,aussagen,äquivalenz,untervektorraum,dimension

könnte mir einer hier helfen wäre sehr lieb:)

Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind

Es seien K ein Körper, V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und Φ:V→V eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

Aufgabe:Es gibt eine aufsteigende Kette

{0}=U₀⊊U₁⊊U₂⊊··⊊U_n=V von Untervektorräumen vonV , so dass dimU_i= 1 +dim U_i−1und Φ(U_i)⊆U_i für alle i∈{1,...,n}.

.

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Eine Aussage äquivalent zu ???????

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EDIT: Es fehlt immer noch die zweite Aussage. Die musst du angeben, sonst kann man nicht auf Äquivalenz prüfen. 

Answer 1

1 ==> 2:

Wähle eine Basis von U1 ( aus einem Element  v1 ) und ergänze sie

zu einer Basis von U2.  Wegen dimU2 = 1 + 1 = 2 

brauchst du dafür nur einen neuen Basisvektor v2.

Wegen  Φ(U1) ⊆ U1 ist das Bild von v1 nur mit v1 darstellbar, also 

hat die erste Spalte der Matrix von Φ nur höchstens in der ersten Zeile ein

von 0 verschiedenes Element.

Wegen  Φ(U2) ⊆ U2 ist das Bild von v2 nur mit v1 und v2 darstellbar,

also hat die zweite Spalte der Matrix von Φ nur höchstens in den ersten

beiden Zeilen von 0 verschiedene Elemente. 

Dann ergänze die Basis von U2 zu einer von U3. Da brauchst du wegen 

dimU3 = 2 + 1 = 3 wieder nur einen Vektor v3.

Und um das Bild von u3 darzustellen  braucht man wegen  Φ(U3) ⊆ U3

nur die Vektoren v1,v2,v3 , also  hat die zweite Spalte der Matrix von Φ nur

höchstens in den ersten drei Zeilen von 0 verschiedene Elemente. 

So geht es immer weiter bis Un.= V.

Dann ist die Matrix bzgl. der der so erhaltenen Basis eine untere

Dreiecksmatrix. Wenn du also die Reihenfolge der Basisvektoren 

umdrehst, ist es eine obere Dreiecksmatrix.

2 ==> 1 geht ähnlich. Nimm die Basis, dreh die Reihenfolge

(und die Nummerierung) der Basiselemente

um und betrachte dann die Unterräume 

{0} ⊆ <v1>   ⊆ <v1,v2>   ⊆ <v1,v2,v3>  ...........

Comments

Danke dir, ich schaue es mit sofort an.

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Danke nochmal, jetzt scheint es mir logisch.