echte aufsteigende Idealkette im Polynomring

Question

Aufgabe:

Es seien K ein Körper und R = K[X_i | i ∈ ℕ] der Polynomring in abzählbar vielen Unbestimmten
X_i.

Geben Sie eine echt aufsteigende Idealkette im Ring R an, d. h. eine Familie (a_i)_i∈ℕ von
Idealen, für die a_i ⊂ a_i+1 für alle i∈ ℕ gilt.

Problem/Ansatz:

Leider habe ich noch keinen richtige Ansatz und benötige deshalb Hilfe.

Answer 1

Für \(i \in \mathbb{N}^*\) sei \(a_i\) das Ideal

\(a_i=(X_1,\cdots,X_i)\), also \(a_i=\{X_1f_1+\cdots+X_i f_i:\;  f_1,\cdots, f_i\in R\}\).

Dann hat die Familie \((a_i)\) offenbar die geforderte Eigenschaft.