Erzeuger von Ideal (Polynomring) bestimmen mit dem Euklidischen Algorithmus

Question

Gegeben ist das Ideal I = (x³ + x + 1 , x³ + 1) eines reellen Polynomrings.
Nun gilt es den Erzeuger f zu bestimmen.

1. Polynomdivision: (x³ + x + 1) / (x³ + 1) = 1 + \( \frac{x}{x³ + 1} \)

2. Polynomdivision: (x³ +1) / (x) = x² + \( \frac{1}{x} \)

Nun bin ich mir unsicher, ich habe gedacht ich muss, da der Rest noch nicht 0 ist, noch eine Polynomdivision durchführen.
Was ja dann wäre: (x) / (1) = x

Somit hätte ich f = ggT(x³ + x + 1 , x³ + 1) = x

Habe ich es somit richtig gemacht? Ich bin mir da noch etwas unsicher, da ich nicht sehe wie x die Polynome teilt.

Comments

Du hast den euklidischen Algorithmus zu früh abgebrochen ...

Answer 1

\(x^3+x+1, \,\, x^3+1\in I\Rightarrow x=(x^3+x+1)-(x^3+1)\in I\)

\(x\in I\rightarrow x^3=x^2\cdot x\in I\)

\(x^3+1, \,\, x^3\in I \Rightarrow 1=(x^3+1)-x^3\in I\),

also \(I=(1)=\mathbb{R}[x]\).

Comments

Vielen Dank für die Antwort.
Wenn ich dies nun mit der Polynomdivision machen will.
Wie würde ich denn fortfahren.
Sollte ich dann von (x) / (1) = x das Ergebnis nehmen und es nochmal durch x teilen?

Aber wie so kann ich das machen?

Weiter ist doch x und 1 dann ein Teiler, somit sollte doch der ggT x sein, da x > x⁰ ist.

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Bei mir sieht der eukl. Algo. so aus:

\(x^3+x+1={\color{blue}{(x^3+1)}} \cdot 1 + \color{green}x\)

\({\color{blue}{x^3+1}}= {\color{green}x}\cdot x^2+\color{red}{1}\)

\({\color{green}x}={\color{red}1}\cdot x + 0\quad\) Algo. endet.

Der ggT ist \(\color{red}{1}\):

\(x^3+x+1\) und \(x^3+1\) sind teilerfremd.