Zeige, dass das Polynom p im Ideal <h> liegt

Question

Aufgabe:

Liegt das Polynom p = t²⁰²¹ + 3t²⁰²⁰ + t³ + 1 ∈ ℤ₅ [t] im Ideal I = <h>  (h = -t+1)

Problem/Ansatz:

Damit das Element im Ideal liegt, muss es von diesem Erzeugt werden können, also muss p ein Vielfaches von h sein.

D.h. ∃ a ∈ ℤ₅ [t] : p = a • h

Wie es weiter geht, wusste ich nicht.

Die Misterlösung ist ab hier wie folgt:

Es gilt p(1) = 1, aber h(1)=0 ⇒ 1 = 0  Wiederspruch

⇒ p ∉ <h>

Die Gleichung an sich habe ich auch verstanden, ich verstehe nur nicht, warum man das zeigt, a,so warum dies ein Wiederspruch ist. Liegt es daran, dass in ℤ₅[t] 1 immer ungleich 0 ist?

Answer 1

Es gilt h(1)=0 . Also gilt auch für alle Vielfachen von h, dass

sie für t=1 den Wert 0 haben, denn irgendwas mal 0 gibt 0 (auch in Z5).

Da aber p(1) nicht gleich 0 ist, kann p nicht in dem von erzeugten Ideal

liegen,

Comments

Danke für deine Hilfe :)