Voraussetzung: Seien c eine komplexe Zahl und I das von $$(X-c)^2 = X^2 - 2cX + c^2 \in \mathbb{C}[X]$$ erzeugte (Haupt-)Ideal. Der Fundamentalsatz der Algebra gilt.
Behauptungen:
a) Zeige durch Induktion nach k: $$\forall n \in \mathbb{N}:\forall k \in \{1,...,n\}:Xn−1 \equiv_I kc^{k−1}X^{n−k+1}−(k − 1)c^kX^{n−k}−1$$
b) Zeige: $$\forall n \in \mathbb{N}\::\:X^n-1 \notin I$$
c) Zeige unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Algebra und der Behauptung von b): $$\#C_n = n, C_n := \{c \in \mathbb{C}\;|\;c^n=1\}$$
Mein Ansatz zu a):
Beweis:
Es gilt $$a \equiv_I b \iff (a-b) \in I;\;a,b \in \mathbb{C}[X]$$. Wir vereinfachen: $$kc^{k−1}X^{n−k+1}−(k − 1)c^kX^{n−k}−1 = (kc^{k-1}X^{n-k+1}-(c^kX^{n-k}+k)+(c^kX^{n-k}-1)=c^k[X^{n-k+1}-(X^{n-k}+k)+(X^{n-k}-1)] = c^k(X^{n-k}+k)$$.
Induktion: Zz.: 1) Wähle k = 1, dann ist $$(X^n-1)-c(X^{n-1}+1) \in I$$.
2) Wenn $$(X^n-1)-(c^k(X^{n-k}+k)) \in \mathbb{C}[X]$$, dann ist auch $$(X^n-1)-(c^{k+1}(X^{n-(k+1)}+k+1)) \in I$$.
Frage: Ich habe ehrlich gesagt bei allen Teilaufgaben nicht den geringsten Schimmer, wie ich das machen soll. Ich bitte euch, mir zuerst mit a) zu helfen. Ich vermute, ich muss irgendein Polynom $$p \in \mathbb{C}[X]$$ finden, sodass $$(X-1)^2 \cdot p = (X^n-1)-c(X^{n-1}+1)$$, denn dann ist $$(X^n-c)-c(X^{n-1}+1) \in I$$, sodass die Kongruenzrelation (erstmal für 1 gilt. Dann das gleiche für $$A(k) \Rightarrow A(k+1)$$, wobei $$A$$ die Behauptung von a) bezeichnet.
