Äquivalenz bei Untervektorräumen

Question

Es sei V ein K-Vektorraum und U_1, U₂ Untervektorräume mit V=U₁+U_{2. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:}

1: Zu jedem v∈V gibt es eindeutig bestimmte Vektoren u₁ ∈U₁ und u₂  ∈U_{2, sodass}  v=u₁+u₂ 

2: Es gilt: U₁ ∩ U₂ = {0}

Für die Hinrichtung 1 nach 2 habe ich schon die Lösung per Widerspruch gezeigt.

Ich habe angenommen es gibt zwei Darstellungen von v, nämlich v=u1+u2  und v=w1+w2. Gleichstellen und umformen ergibt dann: u1-w1=-u1+w2. Da Gleichheit besteht liegen die beiden im Schnitt von U1 und U2. Da im Schnitt nur die Null liegt ist u1=w1 und u2=w2.

Ich denke, dass die Rückrichtung ähnlich geht (also wieder mit einem Widerspruchsbeweis) , aber ich komme nicht darauf.

Über schnelle Antworten bedanke ich mich!