Zeigen Sie, dass folgende drei Bedingungen äquivalent sind:

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, sei V ein K-Vektorraum und seien U und U´ zwei Untervektorräume von V so, dass dim(U) + dim(U´) = dim(V ). Zeigen Sie, dass folgende drei Bedingungen äquivalent sind:

a) U´ ist ein Komplement von U.

b) U ∩ U´ = {0}.

c) ) U + U´ = V.

Comments

Es geht ja wohl um endlich-dimensionele K-Vektorräume, oder??

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ich denke schon ist aber ist nicht explizit definiert

Answer 1

Hallo

da dim(v) angegeben wird ist V endlichdimensional

dan sieh einfach die Def. von Komplement, direkte Summe und Schnittpunkt nach und du siehst die Äquivalenz der 3 Aussagen.

lul

Comments

das U ∩ U´ = {0} gilt wenn U´ ist ein Komplement von U ist ja recht einfach, aber wie zeige ich (ii) ⇒ (iii) und  (iii) ⇒ (i) ?