Zeigen Sie, dass folgende drei Aussagen äquivalent sind.

Question

Aufgabe:

Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und sei n = dim(V ). Seien
zudem v1, . . . , vn ∈ V . Zeigen Sie, dass folgende drei Aussagen äquivalent sind.
(i) Das Tupel (v1, . . . , vn) ist linear unabhängig.
(ii) Das Tupel (v1, . . . , vn) erzeugt V .
(iii) Das Tupel (v1, . . . , vn) ist eine Basis von V .

Problem/Ansatz:

Habe Probleme mit dieser Aufgabe, könnte mir jemand helfen?

Answer 1

(i) ⇒ (ii) Sei \(v\in V\). Weil \(n = \dim(V)\) ist, ist \((v,v_1,\dots,v_n)\) linear abhängig. Sei

        \(a_0v + \sum_{i=1}^na_iv_i = 0\).

mit \(a_0 \neq 0\) (begründe warum es solche \(a_0,\dots,a_n\) gibt).

Dann ist \(v = \sum_{i=1}^n-\frac{a_i}{a_0}v_i\).

(ii) ⇒ (iii) Laut Definition von Basis.

(iii) ⇒ (i) Laut Definition von Basis.