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Es seien \( V \) ein unitärer Vektorraum und \( \phi \in \operatorname{End}(V) \).
(a) Es gelte \( \phi \circ \phi= \) id. Zeigen Sie, dass für \( \phi \) folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) \( \phi \) ist eine Isometrie,
(ii) \( \phi \) ist selbstadjungiert,
(iii) \( \phi \) ist normal.
(b) Nun gelte \( \phi^{\mathrm{ad}}=-\phi \). Zeigen Sie:
(i) Es gibt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von \( \phi \).
(ii) Alle Eigenwerte von \( \phi \) sind rein-imaginär, d.h. jeder Eigenwert von \( \phi \) ist in der Form \( a \cdot i \) für ein \( a \in \mathbb{R} \).
