Die Haben die Integrationsreihenfolge vertauscht
Braucht man nicht. Laut meiner obigen Rechnung ist
\(\int\limits_1^\mathrm{e}\int\limits_{\ln x}^1 y\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \int\limits_1^\mathrm{e}\frac{1}{2}(1-\ln x)\,\mathrm{d}x\)
und das ist ein einfaches integral wie amn es auch aus der Schule kennt.
wie kommt man auf diese Integrationsgrenzen?
Zeichne die Funktionen \(y=\ln x\) und \(y = 1\).
Zeichne die Geraden \(x=1\) und \(x = e\).
Das Integrationsgebiet wird durch diese vier Linien beschränkt.
V = \( \int\limits_{1}^{e} \)\( \int\limits_{ln x}^{1} \) y dy dx
Im äußeren Integral gehst von \(x=1\) nach \(x = \mathrm{e}\). Die Integrationsgrenzen des inneren Integrals bestimmen sich dadurch, welche y-Koordinaten für einen vorgegebenen x-Wert im Integrationsgebiet liegen. Das sind die y-Koordinaten von \(\ln x\) bis 1.
\( \int\limits_{0}^{1} \) \( \int\limits_{1}^{e^y} \) y dx dy
Beim Vertauschen der Integrationsreihenfolge gehst du im äußeren Integral nicht mehr in x-Richtung, sondern in y-Richtung. Kleinste y-Koordinate ist 0, größte ist 1, wie du deiner Zeichnung entnehmen kannst. Das sind die neuen Integrationsgrenzen des äußeren Integrals.
Die Integrationsgrenzen des inneren Integrals bestimmen sich dadurch, welche x-Koordinaten für einen vorgegebenen y-Wert im Integrationsgebiet liegen. Die linke Integrationsgrenze ist 1. Die rechte Integrationsgrenze ist der x-Wert, für den \(y = \ln x\) ist. Lösen dieser Gleichung ergibt \(x = \mathrm{e}^y\).
