Wie löse ich das Integral?

Question

\(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{n}\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n} e^{-2 x} \mathrm{~d} x \)

Comments

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Sei \(h_n(x)=\left(1-\frac xn\right)^n\mathrm e^x\). Nach meinen Berechnungen gilt \(0<h_n(x)<1\) für alle \(x\in(0,n)\) und damit$$\int_0^n\left(1-\frac xn\right)^{3n}\mathrm dx<\int_0^n\left(1-\frac xn\right)^n\mathrm e^{-2x}\,\mathrm dx<\int_0^n\mathrm e^{-3x}\,\mathrm dx,$$$$\frac n{3n+1}<\int_0^n\left(1-\frac xn\right)^n\mathrm e^{-2x}\,\mathrm dx<\frac{1-\mathrm e^{-3n}}3.$$Nun das Sandwichlemma anwenden.

Answer 1

Der Grenzwert von\( (1-\frac{x}{n})^n \) für n gegen unendlich ist \(e^{-x}\).

Comments

Eigentlich müsste man dann nur das Integral von 0 bis unendlich für die Funktion e^-3x rechnen, oder?