Sei \( \left(x_{n, k}\right)_{n, k \in \mathbb{N}} \) eine Doppelfolge und \( \left(x_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) eine Folge reeller Zahlen. Es gelte eine der folgenden beiden Situationen:
(i) \( x_{n, k}, x_{k} \geq 0 \) für alle \( n, k \geq 1 \) und \( x_{n, k} \uparrow x_{k} \) für \( n \rightarrow \infty \) (für jedes \( k \in \mathbb{N} \) ).
(ii) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n, k}=x_{k} \) für alle \( k \in \mathbb{N} \) und es existiert eine reelle Zahlenfolge \( \left(y_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \operatorname{mit}_{n \in \mathbb{N}}\left|x_{n, k}\right| \leq \) \( y_{k} \) für alle \( k \in \mathbb{N} \) und \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} y_{k}<\infty \).
Man zeige, dass in beiden Situationen:
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum \limits_{k=1}^{\infty} x_{n, k}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} x_{k} \)
