Grenzwert von folgender Folge angeben

Question

Gegeben ist folgende Folge:

$$ \frac{n^2}{\sqrt{2n^4 + n}} $$

Wie soll ich davon den Grenzwert angeben?

Ich habe bereits folgendes probiert:

$$ \frac{n^2}{\sqrt{2n^4 + n}} = (\frac{n^2}{2n^\frac{4}{2}+n^\frac{1}{2}}) = (\frac{n^2}{2n^2 +n^\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} $$

Gleich 1/2, weil es eine Regel gibt, die besagt, dass man bei gleichem Grad von Zähler und Nenner (was ja jetzt hier vorliegt und hoch 2 ist), die Vorzeichen teilen muss. Hier also dann 1 als Vorzeichen vom Zähler und 2 als Vorzeichen vom Nenner.

Allerdings soll das alles falsch sein und als Lösung 1 / Wurzel(2) kommen!?

Answer 1

\( \frac{n^2}{\sqrt{2n^4 + n}}=\frac{\sqrt{n^4}}{\sqrt{2n^4 + n}}=\sqrt{\frac{n^4}{2n^4 + n}}=\sqrt{\frac{n^4}{n^4(2 + \frac{1}{n^3})}}=\sqrt{\frac{1}{2+\frac{1}{n^3}}} \)

Mit \(n→∞\) ergibt das \( \sqrt{\frac{1}{2+0}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Answer 2

Du kannst nicht den Exponenten außerhalb des Klammer zu jedem Term innerhalb der Klammern als Exponenten setzen.

(a+b)^c ist nicht das gleiche wie a^c+b^c

z.B. sei a=b=1 und c=2 :

(1+1)^2 = 2^2 = 4

1^2+1^2=1+1=2

Als Tipp kann ich dir geben:

Schreibe n^2 zu Wurzel von n^4 um und wende Wurzelgesetz an, bei dem du die zwei Wurzeln (einmal von Zahler und einmal vom Nenner) zu einer Wurzel vereinigst, sodass der komplette Bruch in einer Wurzel steckt (also sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b)). Dann rechne weiter und irgendwann könntest du auf das Ergebnis 1/sqrt(2) kommen.

Answer 3

Im Nenner n^2 ausklammern und damit kürzen:

n^2/(n^2*(√(2+ 1/n^3)) = 1/√2  für n -> oo

Comments

Folge \(=\frac1{\sqrt2}\) ist falsch. Hat der Frager auch gemacht.

---

Was genau ist falsch? Der Grenzwert ist 1/√2.

https://www.wolframalpha.com/input?i=lim+n%5E2%2F%282n%5E4%2Bn%29%5E0.5

---

Hab ich ja geschrieben, die Folge ist nicht gleich...