Aufgabe:
Die nachstehenden rekursiven Folgen sind konvergent. Bestimmen Sie jeweils die Grenzwerte mit Hilfe von Satz \( 6.15 . \)
a) \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) definiert durch \( a_{n+1}=\sqrt{a_{n}}-\frac{1}{4}, \) mit \( 2=a_{1} \)
b) \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) definiert durch \( a_{n+1}=\frac{a_{4}^{2}}{4}+1 \)
c) Es sei \( q>0 \) und \( a_{n}=q^{\frac{1}{n}} \) für \( n \in \mathbb{N} . \) Zeigen Sie, dass für \( q<1 \) die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) streng monoton steigend und für \( q>1 \) streng monoton fallend ist. Zeigen Sie weiter, dass nach dem Hauptsatz über monotone Folgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) damit konvergent für alle \( q \in \mathbb{R} \) ist.
Der Satz 6.15 lautet:
Für konvergente rekursive Folgen ist folgendes Ergebnis zur Bestimmung des konkreten Grenzwerts sehr nützlich.
Satz 6.15: Es sei \( X \subset \mathbb{R} \text { (oder } X \subset \mathbb{C}) \) und \( \left(a_{n}\right) \) eine rekursive Folge definiert durch eine Abbildung \( \varphi: X \rightarrow \mathbb{R}(\text { oder } \varphi: X \rightarrow \mathbb{C}) \)
\[ a_{n}=\left\{\begin{array}{ll}{\varphi\left(a_{n-1}\right),} & {\text { falls } n>1} \\ {\xi,} & {\text { falls } n=1}\end{array}\right. \]
und es gelte \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=c . \) Falls \( c \in X \) und \( \varphi \) an \( c \) stetig ist, dann gilt folgende Fixpunktgleichung: \( \varphi(c)=c \)
Problem/Ansatz:
Ich weiß nicht, wie ich obige Aufgaben löse. Vielleicht kann mir jemand die Aufgaben einfach und verständlich erklären. Am besten mit einer kleinen Anleitung, falls jemand so nett ist und sich die Mühe machen möchte. Das würde mir enorm weiterhelfen.
