Warum divergiert die Reihe zu a_k:= ( k/(k+1))^k?

Question

Aufgabe:

habe eine Frage zur folgenden Reihe.

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(\frac{k}{k+1})^k} \)

Problem/Ansatz:

Laut einer Lösung der Aufgabe divergiert die Reihe aber ich verstehe nicht wirklich warum.

Ich habe das Wurzelkriterium benutzt und bin dann so vorgegangen:

|\( \sqrt[k]{( \frac{k}{k+1})^k)} \) | =  | \( \frac{k}{k+1} \) | = \( \frac{k}{k+1} \)  ≤ \( \frac{1}{2} \)  < 1

Somit würde die Reihe doch aber konvergieren oder nicht?

Answer 1

Das WK ist hier falsch gebildet. Es würde 1 herauskommen.

\(\dfrac{k}{k+1} = 1-\dfrac{1}{k+1} \stackrel{k\to \infty}{\longrightarrow} 1-0=1\)

Einfacher könntest du aber das Nullfolgenkriterium benutzen, \(\lim\limits_{k\to \infty} \left( \dfrac{k}{k+1} \right) ^k = e^{-1} \neq 0\)

Comments

Danke erstmal für deine Antwort, aber kannst du mir vielleicht sagen wo der Fehler ist? Eigentlich habe ich ja nur die k-te Wurzel gezogen und dann die Betragsstriche entfernt. Finde ihn leider nicht.

Und wie kommst du denn auf diese Gleichung?

\( \frac{k}{k+1} \)  = 1 - \( \frac{k}{k+1} \)

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Da sollte natürlich eine 1 im Zähler stehen.

Du bildest beim WK den Grenzwert k gegen unendlich. Und der Wert k/(k+1) strebt gegen eins (siehe umgeformter Term; dort leichter zu erkennen).

Die Abschätzung 1/2 verstehe ich nicht.

Answer 2

$$\frac{k}{k+1}$$

Beispiele:

3/4 = 0.75 > 1/2

9/10 = 0.9 > 1/2

Daher stimmt bei deiner Ungleichung etwas nicht.

Answer 3

Aloha :)

Bis zu \(\frac{k}{k+1}\) stimmt alles. Jedoch musst du nun zeigen, dass es ein \(c<1\) gibt, gegen das \(\frac{k}{k+1}\) konvertiert. Du hast geschrieben \(\frac{k}{k+1}\le\frac{1}{2}\). Das stimmt aber schon für \(k=2\) nicht mehr.

Dabei reicht es auch nicht, dass \(\frac{k}{k+1}\to1\) konvertiert, sondern du musst ein konkretes \(c\) als Grenzwert angeben, und dieses \(c\) muss \(<1\) sein.

Comments

Danke, ich habe es wohl mit ≥ \( \frac{1}{2} \) verwechselt.

Aber so macht das ganze im Bezug zum Wurzelkriterium ja auch kein Sinn. :D