Reihe zu 1/n divergiert, warum?

Question

Hallo, ich hätte mal eine Sache. Was ich mich immer ständig frage ist, warum eigentlich die Reihe zu der Folge 1/n divergiert. Kann mir das jemand beantworten bzw. kurz beweisen? Wir haben das damals nie so richtig bewiesen oder besprochen.

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Hier findest du bei Interesse noch ein paar mehr Beweise:

http://scipp.ucsc.edu/~haber/archives/physics116A10/harmapa.pdf

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Dankeschön :)

Answer 1

Hier hilft das Minorantenkriterium:

\(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}) +\ldots\geq 1+\frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + \ldots = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\ldots\)

Die nächsten 4 Summanden kann man dann jeweils durch \(\frac{1}{8}\) abschätzen, die nächsten 8 jeweils durch \(\frac{1}{16}\) usw.

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Dankeschön :)

Answer 2

Hier ist noch ein anderer Standard-Beweis.

Offensichtlich gilt: $$\int_n^{n+1}\frac 1x \, dx < \int_n^{n+1} \frac 1n\, dx= \frac 1n$$

Damit ergibt sich: $$\sum_{n=1}^N\frac 1n > \int_1^{N+1}\frac 1x\, dx =\ln(N+1)\stackrel{N\to\infty}{\longrightarrow}\infty$$

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Danke sehr! Echt gute Idee :)