Hier ist noch ein anderer Standard-Beweis.
Offensichtlich gilt: $$\int_n^{n+1}\frac 1x \, dx < \int_n^{n+1} \frac 1n\, dx= \frac 1n$$
Damit ergibt sich: $$\sum_{n=1}^N\frac 1n > \int_1^{N+1}\frac 1x\, dx =\ln(N+1)\stackrel{N\to\infty}{\longrightarrow}\infty$$