Warum divergiert diese Folge?

Question

hi, ich schaue gerde, ob die Folge: $$a_{n}={(1+\frac{1}{n})^{(-n^2)}}*e^n$$ divergiert/konvergiert. In den Lösungen steht, dass sie divergiert, ich verstehe aber nicht warum, denn ich habe so vereinfacht:

$$a_{n}={(1+\frac{1}{n})^{(-n^2)}}*e^n =((1+\frac{1}{n})^n)^{-n}*e^n =e^{-n}*e^n =1$$

und finde meinen Fehler nicht... Könnt ihr mir vielleicht weiterhelfen?

Comments

Wie kommst du auf 1/n bzw, warum ersetzt du a/b durch 1/n ?

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Ohhh, ich meinte für (a/b) eigentlich (1/n). Habe vergesse, dass in der Latexvorlage zu ändern:/ Aber vielen Dank für den Hinweis:D

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In den Lösungen steht, dass sie divergiert

IMHO divigiert die Folge \(a_n=\left( 1 + \frac 1n \right)^{-n^2} \cdot e^n\) nicht. Der Grenzwert ist \(\sqrt e\)

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So siehts aus.

Einfach mal grafisch darstellen:

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$$\log a_n=n-n^2\cdot\log\left(1+\frac1n\right)=\frac12-\frac1{3n}+\frac1{4n^2}-\frac1{5n^3}+-\ldots\longrightarrow\frac12.$$

Answer 1

Du machst einen Fehler. Du kannst doch nicht für einen Teil des Ausdruckes einen Grenzwert berechnen und den anderen Teil einfach stehen lassen.

$$\lim\limits_{n\to\infty}((1+\frac{1}{n})^n)^{-n}*e^n \neq\lim\limits_{n\to\infty}e^{-n}*e^n $$