Zeigen, dass es ein zwei-elementiges Erzeugendensystem E von ker(f) gibt

Question

Sei K ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

$$ f: K^4 \rightarrow K^4, \begin{pmatrix} r\\u\\v\\w \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} r + 3u - v\\2u - v + 3w\\r + 3u - v\\ r- 3u + 2v - 9w \end{pmatrix} \\ $$

Sie dürfen ohne Beweis annehmen, dass f K-linear ist. Zeigen Sie:
Es gibt ein zwei-elementiges Erzeugendensystem E von ker(f)

Ich muss doch zeigen, dass

$$ ker (f) = {\left\{ \alpha _{1} \cdot f \begin{pmatrix} r_1\\u_1\\v_1\\w_1 \end{pmatrix} + \alpha_{2} \cdot f \begin{pmatrix} r_2\\u_2\\v_2\\w_2 \end{pmatrix} | \alpha _{1}, \alpha _{2} \in K \right\}} $$

Aber wäre das nicht ein riesiges Gleichungssystem? Im Internet finde ich nur, dass mit Basis und Dimension(?) gearbeitet wird, das wurde in der Vorlesung jedoch noch nicht behandelt.

Geht das Ganze auch einfacher, als das Gleichungssystem zu lösen?  Die erste Zeile wäre ja schon

$$ \alpha _{1} \cdot r_1 +  \alpha _{1} \cdot 3u_1 + \alpha _{1} \cdot (-v_1) + \alpha _{2} \cdot r_2 + \alpha _{2} \cdot 3u_2 + \alpha _{2} \cdot (-v_2) = 0        $$

Answer 1

Löse die Gleichung \(\begin{pmatrix} r + 3u - v\\2u - v + 3w\\r + 3u - v\\ r- 3u + 2v - 9w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}\).

Comments

eindeutig lösbar ist es ja nicht.

Ich komme auf

r = r

u = u

v = r + 3u

w = \( \frac{r + u}{3} \)

aber wie geht's jetzt weiter?

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eindeutig lösbar ist es ja nicht.

Wenn es eindeutig lösbar wäre, dann wäre diese Lösung r=u=v=w=0 und der Kern von f würde nur aus dem Nullvektor bestehen.

r = r
u = u
v = r + 3u
w = (r+u)/3

aber wie geht's jetzt weiter?

\(\ker(f) = \left\{v\in K^4 | \exists \alpha_1,\alpha_2 \in K: v=\alpha_1\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\\frac{1}{3} \end{pmatrix}+\alpha_2 \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\3\\\frac{1}{3} \end{pmatrix} \right\} \).

Wegen \(1\neq0\) ist \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\\frac{1}{3} \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0\\1\\3\\\frac{1}{3} \end{pmatrix} \).