Was wäre ein Erzeugendensystem dieses Vektorraums?

Question

habe eine kurze Frage zu dem Vektorraum W=D[0,2], der R-Vektorraum der unstetigen Funktionen, der  [0,2] auf R abbildet.

ich verstehe allerdings nicht so ganz, inwiefern die Schreibweise D[0,2] zu verstehen ist. Woher weiß man z.B. ohne den Zusatz "der R-Vektorraum der unstetigen Funktionen, der  [0,2] auf R abbildet." was gemeint sein, soll? oder braucht man diesen Zusatz?

Aber meine eigentliche Frage ist, wie ich ein Erzeugendensystem bzw. eine Basis dieses Vektorraums bekomme. Der VR ist ja unendlich. Wie kann ich da eine endliche Linearkombination bekommen?

MfG

Pizzaboss

Answer 1

Hallo,

da der Vektorraum selbst nicht abbildet, will ich vermuten, dass mit D[0, 2] der Vektorraum der unstetigen Funktionen, die [0, 2] auf R abbilden, gemeint ist.

Das "D" steht wahrscheinlich für "discontinuous", das ist das englische Wort für unstetig. D[0, 2] wird als R-Vektorraum aller unstetigen Funktionen auf [0, 2] definiert. So gesehen braucht man diesen Zusatz.

Der Basisbegriff beziehungsweise der Begriff des Erzeugendensystems verallgemeinert sich in diesem Fall, da, wie du richtig beobachtest, zur Erzeugung fast aller Elemente von D[0, 2] endliche Linearkombinationen nicht ausreichen.



Mister

Comments

Danke für die schnelle Hilfe. Gibt es denn eine Möglichkeit, eine Basis dieses Vektorraums auch ohne Linearkombinationen aufzuschreiben. Also gibt es überhaupt eine Möglichkeit eine Basis aufzuschreiben, meine ich?

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Da eine Funktion aus D[0, 2] im Prinzip an jeder einzelnen Stelle \( x_0 \in [0, 2] \) unstetig sein könnte, erfordert die Frage nach dem Erzeugendensystem besondere Überlegung.

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Hallo,

die Fragestellung ist doch zweifelhaft: Was ist gemeint mit Raum der unstetigen Funktionen. Ist nicht eher gemeint: Raum der (beliebigen) Funktionen. Denn die unstetigen Funktionen (also die mit mindestens eine Unstetigkeitsstelle) bilden keinen Vektorraum - durch Addition von zwei Funktionen mit einer Sprungstelle an einer gemeinsamen Stelle kann ich eine stetige Funktion erzeugen.

Vielleicht wäre ein Blick auf das Original der Aufgabenstellung sinnvoll.

Gruß

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Das stimmt allerdings. Ich habe es zunächst als Vektorraum der beliebigen Funktionen verstanden. Das hieße insbesondere, dass alle stetigen Funktionen dazugehören.

Gut beobachtet, dass die echt-unstetigen Funktionen mit zunächst endlich vielen Unstetigkeitsstellen unter Bildung endlicher Summen nicht abgeschlossen sind.

Die Frage ist: Gilt das auch für Funktionen mit abzählbar und überabzählbar unendlich vielen Unstetigkeitsstellen? Deiner Argumentation folgend könnte ein Element von D[0, 2] zunächst nicht lediglich endlich viele Unstetigkeitsstellen haben.

Unter dieser Prämisse ist D[0, 2] dann aber eventuell am Ende doch abgeschlossen.

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Danke nochmal, für eure Hilfe. Ich hätte vielleicht dazu schreiben müssen, dass meine Frage eigentlich gar nicht auf einer Aufgabe basiert. Ich habe mich nur in einem anderen Forum von anderen Fragen ablenken lassen und bin dann durch Zufall auf diesen Vektorraum gestoßen und dadurch hatte sich dann meine Frage mit der Basis entwickelt, welshalb ich jetzt leider keine konkrete Aufgabenstellung posten kann.