Beweisen, dass Familie eines Vektorraums V ein Erzeugendensystem für V ist.

Question

Ich wollte wissen, ob mein Beweis zum folgenden Satz funktioniert:

$$ \text{Es seien }\mathbb{K}\text{ ein Körper, }V\text{ ein }\mathbb{K}\text{-Vektorraum und }\mathcal{F}=(v_i)_{i\in I} \text{ ein Erzeugendensystem für V. Dann gilt:}\\\text{Ist }\mathcal{G}=(w_j)_{j\in J}\text{ eine Familie in V mit }v_i\in \text{Lin}(\mathcal{G})\text{ für jedes }i\in I, \text{ so ist }\mathcal{G}\text{ ein Erzeugendensystem für V.} $$

Beweis.

$$ \text{Sei }\mathcal{F}=(v_i)_{i\in I}\text{ ein Erzeugendensystem für V und sei }\mathcal{G}=(w_j)_{j\in J}\text{ eine Familie in V, wobei }\\v_i\in \text{Lin}(\mathcal{G})\text{ für jedes }i\in I\text{ gilt. Da }\mathcal{F}\text{ ein Erzeugendensystem für V ist,}\\ \text{so lässt sich jedes Element }v\in V\text{ als Linearkombination über }\mathcal{F}\text{ darstellen, in der Form }\\v=\sum_{i\in I}a_i\cdot v_i\in V,\text{ wobei }a_i\neq0_\mathbb{K}\text{ für höchstens endlich viele }i\in I. \\\text{Da }v_i\in \text{Lin}(\mathcal{G})\text{ für jedes }i\in I\text{ gilt, }\text{existiert die Darstellung aller }v_i\text{ in der Form }\\v_i=\sum_{j\in J}a_j\cdot w_j\in \text{Lin}(\mathcal{G}),\text{ wobei }a_j\neq0_\mathbb{K}\text{ für höchstens endlich viele }j\in J.\\\text{ Dann ist }v=\Big(\sum_{i\in I}a_i\Big)\cdot \Big(\sum_{j\in J}a_j\cdot w_j\Big)\in V,\text{ wobei }a_j\neq0_\mathbb{K}\text{ für höchstens endlich viele }j\in J.$$

Comments

EDIT: $$ \text{ Dann ist }v=\Big(\sum_{i\in I}a_i\Big)\cdot \Big(\sum_{j\in J}a_j\cdot w_j\Big)\in V,\text{ wobei }a_j\neq0_\mathbb{K}\text{ für höchstens endlich viele }j\in J. $$

$$ \text{Damit ist auch jedes }v\in V\text{ über }\mathcal{G}\text{ darstellbar, womit es Erzeugendensystem für V ist.} $$

Answer 1

  Ja ist richtig;   Hinweis: Bediene dich der  ===>  Einsteinschen Indexkonvention.

     v  =  a_i  v_i    (  1a  )

     Die Koeffizienten der Entwicklung nach den w darfst du natürlich jetzt nicht auch "  a  "  nennen; das wäre grob irre fühend.

      v_i  =  b_ik  w_k        (  1b  )

      v  =  a_i  b_ik   w_k        (  2  )

     Hey merkste was?   Die b_ik 

          Merkste was?  b_ik   bilden eine  MATRIX  ( Tensor 2. Stufe ) und damit ein ganz andersartiges Objekt als die Vektoren v . Genau so würdest du ja eine Transformation vornehmen.

   ( NHur halt mit dem Unterschied, dass weder die a noch die b eindeutig sind, weil du ja keine Basis gefordert hast. )

    Hey haste Wiki auswändig gelernt?  WAS ist der Unterschied zwischen " Basis " und Erzeugendem; welches kleine Wörtchen?  (  Da gibt es sogar drei Möglichkeiten. )

Comments

  Ich muss doch mehr Korrektur lesen; ich wollte natürlich sagen: die a bilden einen Vektor, während es sich bei den b um eine Matrix handelt.

---

  Eben fällt's mir ein;  in der Aufgabe steht so kühn:  i  €  I  ;  j  €  J  .   Was meinst du wohl, was I und J sein könnten? Ich will es dir sagen;  ===>  Ordinalzahlen ( OZ )   Schau mal im Internet; tolle farbige  Schaubilder.

   Ich weiß; die Matematiker scheuen die OZ wie der Teufel das Weihwasser;  deshalb steht das hier auch nicht.    Ohne  OZ wüssten wir aber nicht mal, dass jeder Vektorraum eine Basis hat; hier kennse den?

    " Das Auswahlaxiom ist trivial erfüllt.

   Der Wohlordnungssatz  KANN einfach nicht wahr sein.

    Und beim Zornschen Lemma wird man sehen ... "

   Wenn du ihn nicht verstehen solltest - ich erklär ihn dir gerne.

   An sich solltest du ja wissen, was die ===>  Kardinalzahl ( KZ : Mächtigkeit ) einer Menge ist. für endliche Mengen gilt ja   KZ  =  OZ  ,  für unendliche nicht.

      Mir liegt das Spektrumbuch vor; " Grenzen der Matematik " von Dirk W. Hoffmann.  Dort erfahre ich:  Die kleinst mögliche OZ jeder Menge stimmt  überein mit ihrer  KZ  .

    Insofern nimm doch einfach  I und J als die KZ deiner Erzeugendensysteme;  in dem Augenblick, wo du an die OZ glaubst, ist die Schreibweise  j  €  J  auch voll gerechtfertigt ( weil jede OZ , also auch jede KZ ,  ihre Vorgänger   j  <  J  als Elemente enthält )

---

  Habe ich es dir schon gesagt?  Ich möchte doch eine Lanze für meine OZ brechen.

   Eben fällt mir auf:  In der Aufgabe ist die Rede von der  FAMILIE  F  .

   Was, bitte, stellst du dir unter einer Familie vor?  Etwa eine Menge?  Dann habe ich dich bereits rein gelegt ...

     Familien will ich immer in eckigen Klammern andeuten ;  <  .... >  .  Mengen schreibt man bekanntlich mit Mengenschleifen  { ... }

      Betrachte etwa die Familie

       F  :=  <  a  ;  a  >       (  3.1  )

     Claro, dass F linear abhängig ist.  So bald du ein Element wiederholst, hast du lineare Abhängigkeit.

   Bei der Aufzählung einer Menge sind aber Wiederholungen nicht erlaubt; was ist da los?

      Tatsächlich ist F in ( 3.1 )  definiert als Abbildung auf der 2 - die 2 jetzt aufgefasst   als OZ  .

        2  :=  {  0  ;  1  }         (  3.2a  )

         F  :  2  ===>  V     (  3.2b  )

       F  (  0  )  =  v0  ;  F  (  1  ) =  v1      (  3.2c  )

    Z.B.  der Raum aller Polynome besitzt eine abzählbare Basis. Ich sagte dir schon,  dass die KZ immer gleich der kleinsten OZ .  In diesem Sinne gilt für die kleinste  ===>  transfinite  ===>  Grenzzahl  w  (  " Omega "  )

           w  =  Aleph_0  =  |N         (  3.3a  )

    Doch das ist jetzt wörtlich gemeint.  Jede natürliche Zahl n ist kleiner |N  und damit ein Vorgänger von  |N  .

   Du weißtz, dass  eine Folge definiert ist als Funktion auf |N  .  So gesehen kannst  du eine Basis für den Raum P aller Polynome definieren als Folge, die gleichzeitig eine Familie ist:

         <  f  >_n  :=  <  x  ^ n  >      (  3.3b  )

    In so fern  sind Familien eine Verallgemeinerung des Folgenbegriffs  für  über-über-über ... abzählbare Vektorräume.