Wahr oder falsch. Bsp. Jedes minimale Erzeugendensystem eines Vektorraums V ist linear unabhängig.

Question

Wahr oder falsch

(a) Jedes minimale Erzeugendensystem eines Vektorraums V ist linear unabhängig.

(b) Für jeden endlich dimensionalen Vektorraum V gilt: Ist U ein Untervektorraum von V, 

so existiert genau ein Untervektorraum W mit U ⊕ W = V .

(c) Es gilt dim V − dim Bild(ϕ) + dim Kern(ϕ) = 0 für jede lineare Abbildung ϕ: V → W mit dim V < ∞.

(d) Das charakteristische Polynom einer symmetrischen reellen n × n Matrix zerfällt über ℝ in Linearfaktoren.

(e) Für Elemente v, w eines euklidischen Vektorraums V mit Skalarprodukt < ·, · > gilt stets: <v, w> ≤ <v, v> + <w, w>.

(f) Sind A, B ∈ Mat₂(ℝ), so ist det(A + B) = det(A) + det(B).

(g) Seien A ∈ Mat_n(ℝ) und m ∈ ℕ mit A^m = Id, wobei Id die n × n Einheitsmatrix bezeichnet. Ist λ ∈ ℝ ein Eigenwert von A, so
folgt λ ∈ {1, −1}.

Mein Lösungsvorschlag:

a) wahr

b) wahr

c) falsch

d) ?

e) ?

f) falsch

g) ?

Answer 1

(a) Jedes minimale Erzeugendensystem eines Vektorraums V ist linear unabhängig.

w


(b) Für jeden endlich dimensionalen Vektorraum V gilt: Ist U ein Untervektorraum von V, 

so existiert genau ein Untervektorraum W mit U ⊕ W = V .

w


(c) Es gilt dim V − dim Bild(ϕ) + dim Kern(ϕ) = 0 für jede lineare Abbildung ϕ: V → W mit dim V < ∞.

f es wäre    V − ( dim Bild(ϕ) + dim Kern(ϕ) ) = 0


(d) Das charakteristische Polynom einer symmetrischen reellen n × n Matrix zerfällt über ℝ in Linearfaktoren.

w siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrische_Matrix#Eigenwerte


(e) Für Elemente v, w eines euklidischen Vektorraums V mit Skalarprodukt < ·, · > gilt stets: <v, w> ≤ <v, v> + <w, w>.   

wahr.    aus    0 ≤  <v-w,v-w>  kann man herleiten 

                  2*<v, w> ≤ <v, v> + <w, w>.   


(f) Sind A, B ∈ Mat2(ℝ), so ist det(A + B) = det(A) + det(B).

f


(g) Seien A ∈ Matn(ℝ) und m ∈ ℕ mit Am = Id, wobei Id die n × n Einheitsmatrix bezeichnet. Ist λ ∈ ℝ ein Eigenwert von A, so folgt λ ∈ {1, −1}.

w   λ ∈ ℝ ein Eigenwert von A,  ==>  es gibt x ≠ 0 mit  Ax = λx

==>  A^m *x = λ^m *x   und   A^m *x =x wegen A^m = id.    Also λ^m=1 

==>   λ ∈ {1, −1}.