Zusammenhang von Grenzwerten konvergenter Folgen Beweis !

Question

Nachtrag aus Kommentar

Also hier nun die richtige Aufgabenstellung:
Seien (z_n) und (a_n) Folgen in ℂ mit n→∞ und die Grenzwerte α = \( \lim\limits_{n\to\infty} \)( z_n+1 - z_n ) ∈ ℂ und γ= \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \) ∈ [ 0 ,∞] mögen existieren.  Zeigen Sie, dass gilt \( \frac{z_{n}}{n} \) → α und \( \sqrt[n]{a_{n}} \) → γ wenn n→∞

Meine Idee von unten ist Quatsch...

meine Aufgabe ist es die folgenden zwei Aussagen zu beweisen... leider fehlt mir der richtige Ansatz:

Seien (z_n) und (a_n) Folgen in ℂ mit n →∞ , die Grenzwerte α = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) z_n+1 -z ∈ℂ und

γ = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \) ∈ [0 , +∞] mögen existieren.

Zeigen Sie, dass \( \frac{z_{n}}{n} \) → α und \( \sqrt[n]{a_{n}} \) → γ wenn n→∞

Ich könnte die Folge z_n bzw. a_n auch schreiben als z₁ +\( \sum\limits_{i=2}^{\infty}{n} \) (z_i -z_i-1) möglicherweise könnte ich damit dann weiter arbeiten?...

, Liebe Grüße!

Comments

Hallo, sorry, dass ich es erst so spät korrigiere … ich beschäftige mich allerdings immer noch mit der Aufgabe und würde mich deshalb immer noch über eine Antwort freuen:

Also hier nun die richtige Aufgabenstellung:

Seien (z_n) und (a_n) Folgen in ℂ mit n→∞ und die Grenzwerte α = \( \lim\limits_{n\to\infty} \)( z_n+1 - z_n ) ∈ ℂ und γ= \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \) ∈ [ 0 ,∞] mögen existieren.  Zeigen Sie, dass gilt \( \frac{z_{n}}{n} \) → α und \( \sqrt[n]{a_{n}} \) → γ wenn n→∞

Meine Idee von oben ist Quatsch...

Liebe Grüße!

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Habe deinen nun oben an erster Stelle blau eingefügt (Hoffentlich lesbar).

Viel Erfolg!

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Das sind praktisch zwei unabhängige Folgen. Eine heisst (an) und eine (zn). Oder?

Dann auch zwei Behauptungen zu je einer dieser Folgen.

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Korrekt, es sind sind zwei Aussagen unabhängig von einander zu zeigen.

Answer 1

Hallo,

deine Idee zu a ist richtig.

Zu b) machst du dasselbe, nur mit dem Produktzeichen.