Summe von konvergenten Folgen mit Grenzwerten auch konvergent?

Question

Aufgabe:

Es sein a_n und b_n zwei konvergente Folgen mit den Grenzwerten a = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) a_n und b = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) b_n in ℝ. Zeigen Sie:

a) Die Folge a_n + b_n ist konvergent und besitzt den Grenzwert a + b.

b) Ist b ≠ 0 und b_n ≠ 0 für alle n ∈ ℕ, dann konvergiert auch die Folge \( \dfrac{a_n} {b_n} \) und zwar gegen den Grenzwert \( \dfrac{a}{b} \).

Problem/Ansatz:

Also ich weiß schon mal was konvergent heißt: Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt. :D

Ich denke mein Problem liegt darin, dass es mit den Buchstaben für mich zu allgemein ist?

Generell hab ich mir bis jetzt schon ein paar Seiten/Videos zu dem Thema angesehen, komme aber auf keinen Ansatz der mir hilft. Auch wenn es für Andere eventuell ersichtlich ist. (Könnt ihr Bücher/Videos/Seiten empfehlen bzw. mir erklären wie ich vorgehen muss?)

Answer 1

a) Sei ε > 0.

Seien N_a, N_b ∈ ℕ, so dass

        |a - a_n| < ½ε für alle n > N_a,

        |b - b_n| < ½ε für alle n > N_b.

Solche N_a, N_b existieren aufgrund Definition Grenzwert.

Sei N = max({N_a, N_b}).

Begründe, warum

        |(a+b) - (a_n+b_n)| < ε für alle n > N

ist.

Tipp. Dreiecksungleichung.

b) wird nach dem gleichen Prinzip wie a) gelöst.