Aufgabe:
Es sei \( \left(a_{n}\right) \) eine Folge. Ferner sei \( \ell \in \mathbb{N} \) fest und \( \left(a_{n_{k}^{(1)}}\right), \ldots,\left(a_{n_{k}^{(\ell)}}\right) \) konvergente Teilfolgen von \( \left(a_{n}\right) \) mit
\( \bigcup_{i=1}^{\ell}\left\{n_{k}^{(i)} \mid k \in \mathbb{N}\right\}=\mathbb{N} \)
und Grenzwerten \( \alpha_{i}:=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}^{(i)}} . \) Zeigen Sie, dass
\( H\left(a_{n}\right)=\left\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{\ell}\right\} \)
