Allgemeines zu Folgen und Teilfolgen

Question

Hallo,

diesmal ist es eine allgemeine Frage. Angenommen man hat eine stetige Funktion f, die auf einem kompakten Intervall definiert ist. Ich nehme mal [0,1]. Also sei f auf [0,1] definiert. Sei dann weiter f(x) in [0,t] für alle x aus [0,1],  wobei t eine beliebige positive Zahl ist. Da f ja stetig ist und in [0,t] verläuft, muss es ja nach dem Zwischenwertsatz eine Folge (x_n) geben, sodass f(x_n) = t / q_n ist. Hierbei ist q_n eine Folge des Types q_n = a*n + p, z.B. π/2 (2n+1) oder so. (Also q_n soll für n -> unendlich in die positive Unendlichkeit divergieren. Wir sehen also f(x_n) ist selbst eine Nullfolge. Nun haben wir aber gar nicht über die Konvergenz der Folge (x_n) gesprochen. Diese muss ja nicht i.A. konvergieren, wobei die Bildfolge es trotzdem tun kann. Wir wissen aber, das (x_n) beschränkt ist und können damit durch den Satz von Bolzano-Waierstraß garantieren, das (x_n) zumindest eine konvergente Teilfolge (x_k) hat. Nun ist die Frage:

Kann ich anstatt f(x_n) = t / q_n zu wählen, auch f(x_k) = t / q_k wählen, wobei aber k eine nicht durch n abhängiger Index ist, also ich betrachte das ganze einfach von neu, nur das ich anstatt ein n, ein k schreibe. Natürlich müsste man dann f(x_n) passend anders wählen, aber darum gehts nicht. Beispiel: Ich wähle f(x_n) := t / (π(2n+1)). Dannach wenn ich realisiert habe, das x_n nicht zwingend selbst konvergiet, nehme ich die konvergente Teilfolge x_k und wähle f(x_k) = t / (π(2k+1)), wobei wie gesagt k von n nicht abhängt. Dazu ändere ich natürlich vorher die Wahl von f(x_n) und passe es entsprechend an.

Answer 1

Da fehlen einige Angaben.

1. Wie genau wendest Du den ZWS an? Beispiel: f:[0,1]->[0,10], f(x)=x. Es gibt kein f(x)=t=10 mit x in [0,1].

2. Was ist mit q_n? Ist das vorgegeben? Mit welchen Eigenschaften? Das muss vor der Wahl von x_n mit f(x_n)=t/q_n kommen, nicht danach.

3. "f(x_n) = t / q_n zu wählen, auch f(x_k) = t / q_k". Das ist math. genau dasselbe, wenn ich die (bei Dir fehlende) Spezifikation "für alle t" bzw. "für alle k" ergänze. Teilfolgen einer Folge x_n notiert man (z.B. - schau in Deine Unterlagen) als x_g(n), wobei g eine st. mon. st. Indexfunktion ist. Es ist unklar, was Du hier wählst, ob Teilfolgen oder Folgenglieder, weil Du die gleich bezeichnest und die Spezifikation "für alle", oder "für ein" weglässt. Das bringt Verwirrung. Vielleicht willst Du eine Folge rekursiv definieren?

Comments

Ja das war bischen durcheinander. Ist aber im nachhinein doch nicht wichtig. Ich wollte die Frage eigentlich löschen, aber konnte es nicht mehr. Trotzdem danke für Deine Zeit!

Answer 2

nach dem Zwischenwertsatz eine Folge (x_n) geben, sodass f(x_n) = t / q_n ist.

Dazu muss \(\frac{t}{q_n}\in \operatorname{Bild} f\) für jedes \(n\in \mathbb{N}\) sein. Warum das der Fall sein sollte, ist aus den Voraussetzungen, die du an \(f\) gestellt hast, nicht ersichtlich.

Wir sehen also f(x_n) ist selbst eine Nullfolge.

Das gilt nur dann, wenn \(a\neq 0\) ist. Warum das der Fall sein sollte, ist aus den Voraussetzungen, die du an \(q_n\) gestellt hast, nicht ersichtlich.

das (x_n) zumindest eine konvergente Teilfolge (x_k) hat

Genauer gesagt, es gibt eine streng monotone Folge \(\left(n_i\right)_{i\in \mathbb{N}}\) in \(\mathbb{N}\), so dass die Folge \(\left(x_{n_i}\right)_{i\in \mathbb{N}}\) konvergiert.

nur das ich anstatt ein n, ein k schreibe

Das ändert garnichts. Die Folgen \(\left(x_n\right)_{n\in \mathbb{N}}\) und \(\left(x_k\right)_{k\in \mathbb{N}}\) sind identisch.

Beweis. Für jedes \(m\in \mathbb{N}\) gilt: das Folgenglied an Position \(m\) der Folge \(\left(x_n\right)_{n\in \mathbb{N}}\) ist \(x_m\) und das Folgenglied an Position \(m\) der Folge \(\left(x_k\right)_{k\in \mathbb{N}}\) ist \(x_m\).

Stattdessen: Sei \(\left(n_i\right)_{i\in \mathbb{N}}\) eine streng monotone Folge in \(\mathbb{N}\), so dass die Folge \(\left(x_{n_i}\right)_{i\in \mathbb{N}}\) konvergiert. Dann ist

        \(f\left(x_{n_i}\right) = \frac{t}{a\cdot n_i + p}\).

Comments

Ja ich habe bischen die Angaben vergessen, das tut mir leid. Ich bedanke mich aber für Deine Antwort!