Zeigen Sie diese Behauptungen über eine Folge (xn)n∈ℕ in K und x ∈ K:
1. Ist x Häufungswert von (x
n)
n∈ℕ, so gibt es eine Teilfolge (x
nk) k unter n, k∈ℕ mit lim
k→∞ x
nk = x.2. Ist (x
n)
n∈ℕ beschränkt mit
einzigem Häufungswert x in K, so existiert lim
n→∞ x
n = x.3. Besitzt nur
jede Teilfolge (x
nk)
k∈ℕ von (x
n)
n∈ℕ eine weitere gegen x konvergente Teilfolge (x
n k l)
l∈ℕ, so konvergiert schon die ganze Folge (x
n)
n∈ℕ gegen x.
(Hinweis: Beim Nachweis der zweiten Aussage den Satz von Bolzano-Weierstraß verwenden!)
