Zeigen Sie, dass auch die Summe der beiden Folgen gegen unendlich geht

Question

Aufgabe:

Seien a_n und b_n Folgen reeller Zahlen mit den Grenzwerten ∞.

Zeigen Sie, dass auch die Summe der beiden Folgen gegen unendlich geht

Problem/Ansatz:

Ich habe die Idee, dass man mit der Definition sowas schreibt wie I ∞ - (a_n + b_n)I = ∞, aber ich glaube ich verwechsle die Definition des Grenzwerts mit Epsilon mit einer Abschätzung des Grenzwerts ohne Epsilon. Müsste ich eventuell einen Beweis durch Widerspruch machen, in dem ich versuche zu zeigen, dass die Folge (an + bn) eine Schranke hat, oder bin ich auf der ganz falschen Fährte? Danke :)

Answer 1

Seien an und bn Folgen reeller Zahlen mit den Grenzwerten ∞.

Für jedes ε>0 gibt es ein N∈ℕ mit n>N ==>  a_n > ε    und

für jedes ε>0 gibt es ein M∈ℕ mit n>M ==>  b_n > ε 

Zu zeigen:  Für jedes ε>0 gibt es ein K∈ℕ mit n>K ==>  a_n+b_n > ε .

Sei also ε>0. Dann ist ja auch ε/2>0.

Dann gibt es wegen # und ## ein N und ein M
mit n>N ==>  a_n > ε/2   und   n>M ==>  b_n > ε/2

Für K = max(N,M) gilt dann

n>K ==>     a_n > ε/2  und  b_n > ε/2

also  a_n+b_n > ε/2 + ε/2 = ε. q.e.d.