Grenzwertbestimmung bei Folgen limes gegen unendlich. an=(2n³/(4n²-1)) - (n²/(2n+1))

Question

Brauche den Lösungsweg für folgende Grenzwertberechnung.

Folgende Folge ist gegeben : an=(2n³/(4n²-1)) - (n²/(2n+1))

Ich weiß dass 0,25 für n gegen unendlich rauskommt. Aber leider weiß ich nicht wie ich vorgehen muss. Danke

Answer 1

lim _{n -> ∞} ( 2 n ³ / ( 4 n ² - 1 ) ) - ( n ² / ( 2 n + 1 ) )

Das geübte Auge sieht sofort, dass 4 n ² - 1 = ( 2 n + 1 ) * ( 2 n - 1 ) ist (dritte binomische Formel). Also erhält man durch Erweitern des zweiten Summanden des obigen Ausdrucks mit ( 2 n - 1 ):

= lim _{n -> ∞} ( 2 n ³ / ( 4 n ² - 1 ) ) - ( n ² * ( 2 n - 1 ) / ( 4 n ² - 1 )

= lim _{n -> ∞} ( 2 n ³ - 2 n ³ + n ² )  / ( 4 n ² - 1 )

= lim _{n -> ∞} n ² / ( 4 n ² - 1 )

Division durch n ² ergibt:

= lim _{n -> ∞} 1 / ( 4 - ( 1 / n ² )  )

und da 1 / n ² eine Nullfolge ist, ergibt sich:

= 1 / 4 = 0,25