Limes x gegen unendlich für Subtraktion von 2 3ter Wurzeln

Question

Aufgabe:

$$ \lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x} $$

Problem/Ansatz:

kenne diesen Aufgabentypus bisher nur mit der 2ten Wurzeln, allerdings noch nie mit einer 3. gesehen. Bei der 2. Wurzel kenne ich diesen Ansatz, dass man einfach mit der 1 erweitert und die gegebene Funktion dabei als Bruch durch sich selbst darstellt, um dann dritte binomische Formel anzuwenden. Kenne allerdings für die 3. Wurzel keine ähnliche binomische Formel, deswegen kommt es mir vor so, als ob der Trick hier nicht anwendbar ist. Ansonsten hab ich mal versucht, mit e^ln(f(x)) für beide einzeln rumzuspielen, da ist ja dann manchmal mit Regeln von de l`Hospital was machbar, hat hier allerdings nicht weitergeholfen.

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Answer 1

Aloha :)

Ich würde den Term "einsperren", d.h. nach unten und oben begrenzen, sodass beide Grenzen denselben Grenzwert haben. Da der Grenzwert für \(x\to\infty\) gesucht ist, gehen wir davon aus, dass \(x>0\) ist. Wegen \(x+1>x\) ist auch \(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}>0\). Nach oben kann man wie folgt abschätzen:$$0<\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x}\left(\frac{\sqrt[3]{x+1}}{\sqrt[3]{x}}-1\right)=\sqrt[3]{x}\left(\sqrt[3]{\frac{x+1}{x}}-1\right)=\sqrt[3]{x}\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}}-1\right)$$Wenn du die Bernoulli-Ungleichung kennst, siehst du direkt, dass \(\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}}<1+\frac{1}{3x}\) ist. Falls du sie nicht kennst, kannst du dir überlegen, dass:$$\left(1+\frac{1}{3x}\right)^3=1+3\cdot\frac{1}{3x}+3\cdot\left(\frac{1}{3x}\right)^2+\left(\frac{1}{3x}\right)^3>1+3\cdot\frac{1}{3x}=1+\frac{1}{x}$$Wenn du daraus nun ganz links und ganz rechts die dritte Wurzel ziehst, bekommst du die Aussage der Bernoulli-Ungleichung. Damit ist also:$$0<\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}=\cdots=\sqrt[3]{x}\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}}-1\right)<\sqrt[3]{x}\left(1+\frac{1}{3x}-1\right)=\frac{\sqrt[3]{x}}{3\sqrt[3]{x^3}}=\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}}$$Für \(x\to\infty\) geht die rechte Grenze gegen \(0\), sodass auch der gesuchte Grenzwert gegen \(0\) gehen muss.

Comments

gefällt mir sehr gut die lösung, danke :)

Answer 2

Benutze: (a - b)·(a^2 + a·b + b^2) = a^3 - b^3

((x + 1)^(1/3) - x^(1/3))

= ((x + 1)^(1/3) - x^(1/3))·(((x + 1)^(1/3))^2 + (x + 1)^(1/3)·x^(1/3) + (x^(1/3))^2) / (((x + 1)^(1/3))^2 + (x + 1)^(1/3)·x^(1/3) + (x^(1/3))^2)

= 1 / (((x + 1)^(1/3))^2 + (x + 1)^(1/3)·x^(1/3) + (x^(1/3))^2)

für x --> ∞

= 1/∞ = 0

Comments

super vielen dank! das macht sinn :)