Grenzwertbestimmung für T gegen unendlich

Question

Aufgabe:

Den Grenzwert bestimmen: T -> unendlich.

\( \lim \limits_{T \rightarrow \infty} N\left(\frac{5}{2} k_{B} T+\frac{\alpha R^{3}}{1-\operatorname{cop}\left(\frac{\alpha+4}{*}\right)}\right)=\ldots . \approx \frac{3}{2} N k_{B} T ? \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie man auf diesen Grenzwert rechnerisch kommt. Mit l'Hospital kam ich nicht weit. Ich denke man müsste das entwickeln?

Comments

Das ist der Term:

\lim _{T \rightarrow \infty} N\left(\frac{5}{2} k_B T+\frac{\alpha R^3}{1-e^\frac{\alpha R^3}{k_bT}}\right)=\ldots \approx \frac{3}{2} N k_B T

Answer 1

Ich denke man müsste das entwickeln?

Ja. Entwickle deine unleserliche Exponentialfunktion und kürze den Bruch.

Rein praktische Frage: Warum sollte im Ergebnis eigentlich noch der Faktor T stehen?

Da kann man doch gleich schreiben: Das Ergebnis geht gegen unendlich.

Comments

Nein. Man soll bis zur ersten nichtverschwindenden Ordnung entwickeln. Angaben wie geht gegen 0 oder unendlich reichen nicht aus. T ist die Temperatur. Das Ergebnis soll die mittlere kinetische Energie eines Gases sein. Ich weiß nicht so ganz, wie ich das entwickle, bis ich auf das Ergebnis komme.

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T ist die Temperatur

Und da soll man den Grenzwert bilden, wenn die TEMPERATUR gegen unendlich geht???

Ich weiß nicht so ganz, wie ich das entwickle,

Na, wie man die e-Funktion entwickelt. die ersten drei bis 4 Summanden davon reichen aus.

Es war übrigens keine gute Idee, die gescante Grafik wieder zu entfernen (oder hat das döschwo 'bearbeitet'?), weil die Texterkennung deine Mini-Schrift nicht richtig übersetzt hat.

Text erkannt:

\( \lim \limits_{T \rightarrow \infty} N\left(\frac{5}{2} k_{B} T+\frac{\alpha R^{3}}{1-\operatorname{cop}\left(\frac{\alpha+4}{*}\right)}\right)=\ldots . \approx \frac{3}{2} N k_{B} T ? \)

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Ich habe die Grafik nicht entfernt.

Das verlangt die Aufgabe. Ich habe mir das nicht ausgedacht. Es heißt für sehr hohe Temperaturen. Deswegen wurde der Limes gebildet. Den Rechenweg konnte ich leider nicht nachvollziehen  :(

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e^x=1+x+x²/2 + x³/6 ...

In diesem Falle sollte e^x≈1+x genügen.

Wenn man für x den Bruch \( \frac{\alpha R^3}{k_BT} \) einsetzt, wird der hintere Nenner zu

 1-(1+ \( \frac{\alpha R^3}{k_BT}) \), also zu \( -\frac{\alpha R^3}{k_BT} \), und das \( \alpha R^3\) kurzt sich mit dem Zähler des hinteren Bruchs. Übrig bleibt \( -k_BT \).