Zeigen Sie: Wenn a_n gegen +/- unendlich divergert, dass 1/a_n gegen 0 konvergiert.

Question

Aufgabe:

$$ \text{ Zeigen Sie: Ist}\lim\limits_{n\to\infty} a_n = \infty\text{ oder } -\infty, \text{ dann gelte } \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{a_n} =0. $$

Problem/Ansatz:

Nach Defintion bedeutet das ja, dass a_n bestimmt divergent ist.

Also für divergent gegen +∞: D.h. für jedes ε ∈ K existiert ein N ∈ ℕ mit a_n > ε für alle n ≥ N. Jetzt komme ich aber nicht wirklich weiter, man müsste ja darauf kommen, dass $$ \frac{1}{a_n}-0 < ε $$ mit jedem ε > 0. Allerdings komme ich da nicht so ganz weiter.

Comments

Falls Divergenz gegen +∞ vorliegt: Wähle ε ∈ ℝ⁺ beliebig. Wähle C := 1/ε ∈ ℝ⁺. Nach Voraussetzung existiert ein N ∈ ℕ mit a_n > C für alle n ≥ N. Es folgt a_n < 1/C = ε und damit die Behauptung.
Im anderen Fall betrachte die Folge b_n := -a_n.

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Korrektur: Es folgt a_n < 1/C = ε soll heißen: Es folgt 1/a_n < 1/C = ε.

Answer 1

Du kannst beides auch auf einmal abhandeln.

\(  \lim\limits_{n\to\infty} a_n = \infty\text{ oder } -\infty, \text{ dann gilt}  \)

Für alle c∈ℝ gibt es ein N∈ℕ mit |a_n| > c für alle n>N  #

Um \(  \lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0 \) zu zeigen:

Sei ε>0. Dann gibt es ein N∈ℕ mit  \( |\frac{1}{a_n} |\) <ε für alle n>N

Wähle in #   c= 1/ε, dann erhältst du aus |a_n| > c

1/|a_n| < 1/c also  | 1/a_n| < ε . q.e.d.

Comments

gemeint war natürlich

$$ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{a_n} =0 $$

aber das hast du ja glaube ich auch so automatisch gedacht (haben meinen fehler in der aufgabenstellung verbessert). Danke auf jeden fall. :)