Grenzwert konvergenter Folgen beweisen

Question

Brauche Ansätze oder Lösungswege!

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würde es Dir helfen, das als Widerspruchsbeweis aufzubauen:

$$ \lim_{n \to \infty} a_n > \lim_{n \to \infty} b_n $$

$$ \Rightarrow \exists n \in  \mathbb {N} \quad \text{derart dass} \quad  a_n > b_n  $$

Das ist ein Widerspruch zu den Voraussetzungen und es muss das Gegenteil gelten. Damit wäre die Annahme bewiesen. Mit Zwischenschritten müsste das formal schon ok sein.

Gruß

Answer 1

Hi,
angenommen es gilt \( a=\lim_{n\to\infty}a_n \) und \( b=\lim_{n\to\infty} b_n \) und \( a > b \), dann gibt es ein \( \epsilon \in \mathbb{R} > 0 \) mit \( a - \epsilon > b + \epsilon \). Für \( n \in \mathbb{N} \) gross genug, gilt aber
\( a_n > a - \epsilon > b + \epsilon > b_n \) im Widerspruch dazu, dass gilt \( a_n \le b_n \)

Für den zweiten Teil der Aufgabe nehme die Folgen \( a_n = \frac{1}{n+1} \) und \( b_n = \frac{1}{n} \) Dann gilt \( a_n < b_n \) aber die Grenzwerte beider Folgen ist \( 0 \)