Um es einfacher ausdrücken zu können, gehe ich in dieser intuitiven Erklärung mal davon aus, dass f auf X x Y Minimum und Maximum annimmt. Dann ist die Aussage des Satzes im Prinzip: "Wähle ich y so, dass $$\inf_{x\in X}f(x,y_{opt})$$ maximal wird, ist dieser Wert immer noch kleiner oder gleich dem nach x minimierten Wert von $$\sup_{y\in Y}f(x_{opt},y)."$$
Man stelle sich die Funktion $$f\colon[-1,1]\times[-1,1]\colon x\mapsto x^2-y^2$$ vor (Chips haben diese Form, eine Krümmung nach oben in eine Richtung und eine Krümmung nach unten in die andere). Die maximale untere Schranke für eine Gerade in x-Richtung ist f(x,0)=x^2>=0. Genauso ist die minimale obere Schranke für eine Gerade in y-Richtung f(0,y)=-y^2<=0.
Ein Beispiel, in dem Ungleichheit gilt, wäre $$f\colon\mathbb R\rightarrow\mathbb R\colon x\mapsto\begin{cases}1,\quad y\geq x\\-1,\quad y<x\end{cases}$$.
Da für alle x und y auf der Gerade y=x-1 f(x,x-1)=-1 und für alle x und y auf der Gerade y=x+1 f(x,x+1)=1 gilt, ist das maximale Infimum -1, das minimale Supremum 1.
Also ran an den formalen Beweis:
Widerspruchsannahme: $$\exists x_0,x_1\in \overline X,y_0,y_1\in \overline Y\colon\\f\left(\lim_{x\rightarrow x_0}x,\lim_{y\rightarrow y_0}y\right)=\sup_{y\in Y}\inf_{x\in X}f(x,y)>\inf_{x\in X}\sup_{y\in Y}f(x,y)=f\left(\lim_{x\rightarrow x_1}x,\lim_{y\rightarrow y_1}y\right)\Rightarrow\\\ \forall a\in X\ \forall b\in Y\colon\\ f\left(\lim_{x\rightarrow x_0}x,\lim_{y\rightarrow y_0}y\right)\leq f\left(a,\lim_{y\rightarrow y_0}y\right)\\f\left(\lim_{x\rightarrow x_1}x,b\right)\leq f\left(\lim_{x\rightarrow x_1}x,\lim_{y\rightarrow y_1}y\right)$$
Bedeutet: Da die erste Zeile ein Infimum bzgl. x ist, sind alle x-Werte zum gleichen y-Wert größer oder gleich dem Infimum. Analog fürs Supremum. Allerdings sagt unsere Widerspruchsannahme, dass:
$$f\left(\lim_{x\rightarrow x_1}x,\lim_{y\rightarrow y_1}y\right)<f\left(\lim_{x\rightarrow x_0}x,\lim_{y\rightarrow y_0}y\right).$$
Wenn wir nun unsere Überlegungen von vorhin einsetzen, kommen wir auf:
$$(1):\ \forall a\in X\ \forall b\in Y\colon\\f\left(\lim_{x\rightarrow x_1}x,b\right)\leq f\left(\lim_{x\rightarrow x_1}x,\lim_{y\rightarrow y_1}y\right)<f\left(\lim_{x\rightarrow x_0}x,\lim_{y\rightarrow y_0}y\right)\leq f\left(a,\lim_{y\rightarrow y_0}y\right),$$
was für $$a=\lim_{x\rightarrow x_1}x,\ b=\lim_{y\rightarrow y_0}y$$
auf den Widerspruch
$$f\left(\lim_{x\rightarrow x_1}x,\lim_{y\rightarrow y_0}y\right)<f\left(\lim_{x\rightarrow x_1}x,\lim_{y\rightarrow y_0}y\right)$$
führt. Ist der Grenzwert der Folge nicht in X x Y enthalten, so sind es doch alle x,y, die gegen x_1, y_0 konvergieren, da der Grenzwert sich dann am Rand von X x Y befindet und man immer eine Folge konstruieren kann, die gegen einen Randwert konvergiert und vollständig im Inneren einer Menge enthalten ist. Das dürfte hinreichend sein, damit die Ungleichung (1) mit diesem a und diesem b noch gilt.
