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Text erkannt:

Sei \( f:[0, \infty) \rightarrow R \) definiert durch \( f(x)=e^{-x} \cdot \cos (x) \).
a) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von f,
b) Bei jedem lokalen Extremum bestimmen Sie, ob es sich um ein lokales Minimum oder Maximum handelt,
c) Bestimmen \( \operatorname{Sie} \sup \{f(x): x \in[0, \infty)\} \). Begründen Sie , dass das tatsächlich das Supremum ist.

Aufgabe:


Problem/Ansatz:


Ich bin nicht sicher wie ich Infimum und Supremum in Bezug auf Funktionen herausfinde. Wir hatten das Thema in Bezug zu Reihen und damit bin ich zurecht gekommen. Wie kann ich dies auf Funktionen übertragen? Ist das Infimum wie das globale Minimum zu sehen?IMG_1315.jpg

Text erkannt:

\( \begin{array}{ll} f(x)=e^{-x} \cdot \cos (x) & u=e^{-x} \quad x \\ f^{\prime}(x)=-e^{-x} \cdot \cos (x)+e^{-x} \cdot-\sin (x) & u^{\prime}=-e^{-x} \times v^{\prime}=-\sin (x) \\ f^{\prime}(x)=-\left(e^{-x} \cdot \cos (x)+\sin (x)\right) & \end{array} \)
a) Lokale Exhrema:
\( f^{\prime}(x)=0,-\left(e^{-x} \cos (x)+\sin (x)=0\right. \)

Da \( e^{-x}>0 \) für ave \( x \) und \( \sin (x)=\cos (x) \) far kein \( x \) beide \( =0 \) sind:
\( \begin{array}{l} \cos (x)=-\sin (x) \quad \mid \cdot(-1) \\ -\cos (x)=\sin (x) \end{array} \)

Lim intervall \( [0, \infty): x=\frac{3}{4} \pi+k \cdot \pi, k \in \mathbb{R} \).
\( \Rightarrow \) Exherma on del stellen \( \frac{3}{4} \pi+k \pi, k \in \mathbb{N} \). Exhremsteule ist immer in einem \( { }^{4} \) Abstond \( \pi \) zur nächsten.
c)

Im Skript steht:

Ist M nach unten beschränkt und existiert eine größte untere Schranke x ∈ K von M
(d.h. y ≤ x, falls y auch eine untere Schranke von M ist), dann heißt x das Infimum
von M und wir schreiben dann inf M = x. Gilt x ∈ M, dann heißt x das Minimum
von M und wir schreiben min M = x.

Das Wissen kann ich hier leider gerade nicht umsetzen.

Avatar vor von

Schau Dir an, wovon Du das Supremum bestimmen sollst. Es ist eine Menge (von Funktionswerten). Daher kannst Du die Definition aus dem Skript sofort übernehmen (die für das Supremum natürlich).

Lieber user,

wenn ich die Definition verstehen würde, würde ich sie gern sofort anwenden. Aber vermutlich fällt mir die Vorstellung von Supremum und Infimum als Schranke sehr schwer, weshalb ich mich ans Forum gewandt habe. Ich habe auch bereits gegooglet und auf Youtube geschaut. Leider macht es bisher nicht Klick, sonst hätte ich nicht diesen Post erstellt.

Ok, Du schriebst, Du wärst im anderen Zusammenhang mit Inf und Sup klar gekommen.

Nun gut, Supremum ist die kleinste obere Schranke, wenn sie angenommen wird, ist es gleichzeitig auch das Maximum. Also suche den größten Funktionswert auf dem angegebenen Intervall.

Genau, das war meine Frage: Ist das Minimum das lokale oder globale Minimum und Supremum dasm lokale oder globale Maximum?

Weder noch,

Supremum ist nur maximum, wenn der wert angenommen wird, sonst sind sup und max verschieden bzw. es gibt dann kein maximum.

Beispiel y=x auf [0,1) Sup ist 1, der Wert wird aber nie angenommen, also gibt es kein maximum.

Oder y= 1 -1/x für x>1. Sup ist 1, wird aber nie erreicht, also existiert kein Maximum.


In Deiner Aufgabe ist 1 sowohl Sup als auch Max da f(0)=1

Wäre der def Bereich (0,∞) statt [0,∞) wäre 1 sup und wieder ex. kein Max.

Ich möchte nur mal auf einen Fehler hinweisen:

Bitte beachte die richtige Klammersetzung in der Ableitung.

f(x) = e^(-x)·COS(x)

f'(x) = - e^(-x)·( COS(x) + SIN(x) )

Die Extremstellen sind dann richtig, weil du auch korrekt die Klammer gleich Null gesetzt hast.

Zu den lokalen Extrema kommt das Randextrema bei x = 0 noch hinzu.

Es ergeben sich folgende Extrempunkte

HP1(0, 1)
TP2(3/4·pi, - 1/√2·e^(- 3/4·pi))
HP3(7/4·pi, 1/√2·e^(- 7/4·pi))
TP4(11/4·pi, - 1/√2·e^(- 11/4·pi))
...

An der Skizze kannst du auch direkt das Maximum bei x = 0 erkennen.

~plot~ cos(x);e^(-x);e^(-x)*cos(x);[[0|10|-1|1]] ~plot~

1 Antwort

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Genau, das war meine Frage: Ist das Minimum das lokale oder globale Minimum und Supremum dasm lokale oder globale Maximum?

Wenn ein Extremum angenommen wird, stimmt das Infimum mit dem globalen Minimum und das Supremum mit dem globalen Maximum überein. Wenn eine Funktion oder eine Menge unbeschränkt ist, existiert beides nicht. Ansonsten gibt es eine kleinste obere Schranke (Supremum) bzw. größte untere Schranke (Infimum).

Bspw. besitzt die Wertemenge der Funktion \(f(x)=\frac{1}{x}\) auf \(\mathbb{R}\) kein Supremum, da nach oben unbeschränkt, aber ein Infimum, da die Funktion durch \(m=0\) nach unten beschränkt ist. Das ist auch die größte untere Schranke. Es gibt keine Extrema.

Überlege also, durch welchen Wert dein Funktionsgraph bzw. die Wertemenge nach oben beschränkt ist.

Avatar vor von 21 k

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