Aloha :)
Für ide Elemente \(a(x)\) der Menge \(A\) gilt:$$a(x)=3+\frac{x^2}{1+x^2}$$Da \(\frac{x^2}{1+x^2}\ge0\) ist und für \((x=0)\) den Wert \(0\) annimmt, ist \(3\) das Minimum von \(A\):$$3\le a(x)\quad\text{für alle }x\in\mathbb R$$
Für die Abschätzung nach oben formen wir \(a(x)\) etwas um:$$a(x)=3+\frac{(\pink1+x^2)\pink{-1}}{1+x^2}=3+\frac{\pink1+x^2}{1+x^2}+\frac{\pink{-1}}{1+x^2}=4-\frac{1}{1+x^2}$$
Zwar konvergiert der Bruch \(\frac{1}{1+x^2}>0\) für \(x\to\pm\infty\) gegen \(0\), nimmt den Wert \(0\) selbst aber niemals an, daher ist \(4\) ein Supremum, aber kein Maximum.$$3\le a(x)<4\quad\text{für alle }x\in\mathbb R$$
